第二章 74181中的先行进位问题

1、说明

$图1$图1

$图2$图2

注：图1中红色方框并不是输入项X和Y的全加器，即与图2中的全加器不相对应。

2、先行进位

在全加器中，输入项A、B、C_n+i，输出项为S、C_n+i+1

$C_{n+i+1}=A_iB_i+B_iC_{n+i}+C_{n+i}A$Cn+i+1​=Ai​Bi​+Bi​Cn+i​+Cn+i​A

$C_{n+i+1}=A_iB_i+(A_i+B_i)C_{n+i}$Cn+i+1​=Ai​Bi​+(Ai​+Bi​)Cn+i​

由全加器的真值表得，当输入取反时，输出也取反

$\overline {C_{n+i+1}}=\overline{A_i} \ \overline{B_i}+ (\overline{A_i}+ \overline{B_i}) \overline{C_{n+i}}$Cn+i+1​​=Ai​​ Bi​​+(Ai​​+Bi​​)Cn+i​​

$\overline{C_{n+i+1}}=\overline{A_i+B_i}+\overline{A_i B_i} \bullet \overline{C_{n+i}}$Cn+i+1​​=Ai​+Bi​​+Ai​Bi​​∙Cn+i​​

$C_{n+i+1}=\overline{\overline{A_i+B_i}+\overline{A_i B_i} \bullet \overline{C_{n+i}}}$Cn+i+1​=Ai​+Bi​​+Ai​Bi​​∙Cn+i​​​

记：

$\overline{A_i B_i}为X_i$Ai​Bi​​为Xi​

$\overline{A_i+B_i} 为Y_i$Ai​+Bi​​为Yi​

（注：74181中取S₀S₁S₂S₃＝1001时，X与Y的表达式即为上式。）

则

$C_{n+i+1}=\overline{Y_i+X_i \overline{C_{n+i}}}$Cn+i+1​=Yi​+Xi​Cn+i​​​

那么：

$C_{n+1}=\overline{Y_0+X_0 \overline{C_n}}$Cn+1​=Y0​+X0​Cn​​​

$C_{n+2}=\overline{Y_1+X_1 \overline{C_{n+1}}}$Cn+2​=Y1​+X1​Cn+1​​​

$C_{n+2}=\overline{Y_1+X_1 (Y_0+X_0 \overline{C_n})}$Cn+2​=Y1​+X1​(Y0​+X0​Cn​​)​

$C_{n+2}=\overline{Y_1+ Y_0 X_1+X_0 X_1 \overline{C_n}}$Cn+2​=Y1​+Y0​X1​+X0​X1​Cn​​​

同理

$C_{n+3}=\overline{Y_2+ Y_1 X_2+Y_0 X_1 X_2+X_0 X_1 X_2 \overline{C_n}}$Cn+3​=Y2​+Y1​X2​+Y0​X1​X2​+X0​X1​X2​Cn​​​

$C_{n+4}=\overline{Y_3+ Y_2 X_3 +Y_1 X_2 X_3+Y_0 X_1 X_2 X_3+X_0 X_1 X_2 X_3 \overline{C_n}}$Cn+4​=Y3​+Y2​X3​+Y1​X2​X3​+Y0​X1​X2​X3​+X0​X1​X2​X3​Cn​​​

记：

$P=X_0 X_1 X_2 X_3$P=X0​X1​X2​X3​

$G=Y_3+ Y_2 X_3 +Y_1 X_2 X_3+Y_0 X_1 X_2 X_3$G=Y3​+Y2​X3​+Y1​X2​X3​+Y0​X1​X2​X3​

得：

$C_{n+4}=\overline{G+P\overline{C_n}}$Cn+4​=G+PCn​​​

即：

$\overline{C_{n+4}}=G+P\overline{C_n}$Cn+4​​=G+PCn​​

综上所述，可以看到，C_n+i+1与C_n+i之间在取非后存在先行进位关系。

常见的先行进位加法器（超前进位加法器）如下图所示

$图3 －注：图中X、Y对应原A、B；图中P、G对应原X、Y$图3－注：图中X、Y对应原A、B；图中P、G对应原X、Y

2、图1中的C_n+4

注：图1中P、G与上述内容中所定义不同，需按取反标记，即图1中C_n+4、P、G应标记成：

$C_{n+4}、\overline P 、\overline G$Cn+4​、P、G

则：

$C_{n+4}=\overline{\overline P \ \overline G +C_n \ \overline G}$Cn+4​=P G+Cn​ G​

$C_{n+4}=\overline {\overline P \ \overline G} \bullet \overline{ C_n \overline G}$Cn+4​=P G∙Cn​G​

$C_{n+4}=(P+G) \bullet (\overline {C_n} +G)$Cn+4​=(P+G)∙(Cn​​+G)

$C_{n+4}=P\overline {C_n} + PG+G\overline {C_n}+G$Cn+4​=PCn​​+PG+GCn​​+G

$C_{n+4}=G+ P\overline {C_n}$Cn+4​=G+PCn​​

3、图1中的更正