数的认知（2）——五次以上的方程没有求根公式

1，二次方程的求根公式

方程：

求根公式：

简单好用，而且很容易直接推出来求根公式。

2，三次方程的求根公式

这个求根公式其实可以用换元法推导出来。

首先，根据韦达定理，3个根的和为0，那么3个根就一定可以表示为a+b, wa+wwb, wwa+wb 的形式，其中a,b是复数

这样，可以算出来，-p = 3ab, -q = a^3 + b^3

然后，假设a^3 = -q/2 + t, b^3 = -q/2 -t

那么a^3 * b^3 = qq/4 - tt

所以-p^3 / 27 = qq/4 - tt , 即t = sqrt(p^3 / 27+qq/4)

3，四次方程的求根公式

式子过于复杂，我没研究过，百度百科有介绍。

4，根式解和一般根式解

对于整系数方程，仅用系数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到的解叫根式解，

对于方程的通式，即系数用字母表示，如果有仅用系数进行有限次加减乘除以及开整数次方得到的解析式，使得这个式子一定是方程的解，那么就叫做一般根式解。

对比代数式的概念：对字母进行有限次加减乘除以及乘方开方的解析式称为代数式。

差别在于有没有乘方，还有一个差别在于一般根式解只能开整数次方（其实这两个是一回事，如果乘方的次数也是一个确定的整数，那直接用乘法表示就完事了）。

5，五次以上的方程没有求根公式

数学家用群论通过证明，五次以上的方程没有一般根式解，证明了五次以上的方程没有求根公式。

我还有2个推测：

（1）五次以上的方程无法用代数式表示出一个通解，即允许乘方也不行，允许开实数次方也不行。

（2）在代数式的基础上，再允许形如a^b的表达式，还是无法表示出一个通解。