模态逻辑的先声：H.麦克考尔的可能概念 C.I刘易斯逻辑之二
模态逻辑的先声：H.麦克考尔的可能概念 C.I刘易斯逻辑之二
年初从武汉开启的这场covid19疫风，没有想到如此之来势汹汹。时光跨越了大半年，疫情还在全世界蔓延肆虐，几乎就没有它到不了的地方，伴随这疫情的，还有不少地方的漫天蝗虫，森林大火，暴雨洪水。这愁雾悲情的2020年，除了这些老天赐给人的自然灾害，这个世界的风云变幻，诡谲莫测，更表征在人文分型与人文站边的争斗之中。
世界向何处去？人类自身伴随时空不断撰写的历史故事，是朝东？还是朝西？是姓资？还是姓社？是相信集体的无意识，还是相信个体的自立创造？也许，这永远也不会有一个确定的答案，也许，这个愁雾悲情的2020年带给人类的灾难，会给我们一些新的启示。
但不管是个什么样的故事，人们对于知识的探究不会停歇，一些人在期冀未来，一些人在回望过往，还有一些人在面对实在而打拼。似乎每个人都会在这个混沌的世界之中，自觉不自觉地为自己设定一个点位。
我该干些什么呢？我所关注的刘易斯的故事，既然已经有了开头，自然就得延续下去。其实，没有开头，一点也不影响我们对于知识的探究，什么时候都可以找到起点。无尽的时空隧道之中，什么地方都可以成为一个重新开始的点位。
探究CI刘易斯所创立的模态逻辑，上篇已经开始，我们继续前行。
C.I.刘易斯的开篇中，就已经提及，刘易斯从罗素和怀特海的《数学原理》一书中，看到他们对于实质蕴涵的定义。罗素从他逻辑系统的需要而建构了这个定义，刘易斯则从他的直觉，对这个定义提出了质疑。但细看逻辑史，这个争论并不是在罗素与刘易斯那里才开始，关于蕴涵的现代争论，至少要涉及到另一位更早的英国逻辑学家，就是我们在上篇提到的英国的苏格兰学者H.麦考科尔（1837-1909）。
一、智者麦克考尔Hugh MacColl与智者罗素关于蕴涵的早期探讨
麦克科尔是一个数学家，也是一个小说家。他也许是最早提议，布尔的逻辑代数可以用来构成现代命题逻辑的学者。这位英伦苏格兰的学者兼作家，一生都是在数学、逻辑与文学创作领域辛勤耕耘。他于晚年之际，也就是19世纪晚期发表在《心灵》杂志上的系列论文，把时光从19世纪漂移到20世纪。这个以《符号推理》为名的系列论文，让麦克考尔成为一个新的现代逻辑分支，模态逻辑的先驱。
如同布尔给布尔代数贡献了“全类”universe和“无类”nothing这两个神奇观念一样，麦克考尔为另一个新逻辑，现在称为模态逻辑的一个逻辑分支，同样提供了两个新奇观念：“可能”possible和“不可能”impossible。这是两个属于哲学家讨论的概念，同时也是人们在日常生活中经常要用到的概念。它们既哲学，又常用，经麦克考尔的蕴涵分析，竟然还可作为逻辑殿堂的一对概念。
一般人恐怕想不到这一点，也只有智者才会出现这样奇葩的追问和探寻，从而构筑起不同于现代经典逻辑的现代非经典逻辑。
而麦克考尔提出的这两个概念，与另一个大智者，英国逻辑学家罗素有关。罗素的名气太大，如雷贯耳，用不着在这里多做介绍。但引介一下他和麦克考尔长达多年的信件和论文交锋，倒是一件十分有趣的事情。这个交锋过程常常讨论的问题，就是我在前几篇小文中多次提及的蕴涵和实质蕴涵。争议的症结，最后都归结到一种不同于罗素逻辑的另一种逻辑，即C.I刘易斯创建的模态逻辑。
早在罗素与怀特海那本《数学原理》著作还未出版的1901年，麦克考尔就想到了这两个通常属于哲学家使用的范畴：可能与不可能。依据《数学和逻辑之根的探究1870-1940》2001年英文版一书的记载，1901年，罗素在《心灵》杂志，发表了一篇有关欧几里得几何原本卷一的论文，题目为《论序概念》，其中就有讨论“蕴涵”的文字。罗素当时对于蕴涵的理解，是把蕴涵看作为欧式几何中不同定理之间的某种关系。而到后来，罗素又把蕴涵分类为两类，一类是实质蕴涵，另外一类是形式蕴涵。但罗素对于麦克考尔，为蕴涵语句冠以模态词可能和不可能，却一直都是一个否定的态度。
麦克考尔在看到罗素的大作之后，当年10月给了罗素一封长信，陈述了他关于蕴涵的不同意见。麦氏讨论蕴涵这个话题时，他说，自己不是在几何层面，而是在蕴涵本身的层面来考虑蕴涵的意味。
一个复合命题”A蕴涵B”，意味着什么呢？麦克考尔认为，这意味着，“A可以是真的，而同时B又是假的，这是不可能的“。而当我们说：”A不蕴涵B”之时，这又意味着什么呢？这可以理解为：”A可以是真的，而同时B是假的，这是可能的“。
这样一个提法实际上暗示着，在我们对于蕴涵命题予以真值判定时，我们对于逻辑真值的理解可能要超越二值，除了二值的真值，也许还有第三种真值，可能真。
可罗素对麦氏的这种蕴涵理解，好像没有兴趣。他似乎认为，从逻辑角度看，所有命题全都是非真即假。“真”这个东西，它没有什么必然、偶然。“假”这个东西呢，也没有什么可能、不可能。
在观念交锋的过程中，两人基本上是各执一词，但讨论并没有终止。麦克考尔是一个笔耕不缀的学者，他除了有《心灵》杂志的系列论文，同期，他还有在《雅典娜》杂志上的系列短论文。所有这些论文，其中多有相关于蕴涵以及模态词引入的问题。
英国的雅典娜评论
麦克考尔和罗素最后的论文交锋，覆盖了《心灵》杂志的1908年卷，麦克考尔在这一年几乎是集中论述蕴涵。他和罗素的分歧，依然是有关蕴涵和模态，以及和这两个概念相关的命题函项的身份。罗素坚持，像“他是一个男人“这样的命题，如果那个代词”他“未予确定，该命题只不过是一个命题函项而已。麦克考尔则坚持，这不应该称作命题函项，这个命题就是可能真。（参见《数学和逻辑之根的探究1870-1940》第351-354页）
二、一个特有耐性的逻辑学者
麦克考尔是一个特有耐性的逻辑学者，早在19世纪的70年代，他在分析亚氏三段论的全称肯定命题时，就已经得到三段论与复合命题相通的结论。他说，一个全称肯定命题SAP，其实就是一个蕴涵式。例如当我们说：“所有的S都是P”的时候，也等于是在说：“如果有一个个体属于S，那么，这个个体也属于P”。这个说法似乎与皮尔斯的分析及其相似，两个人的分析是各自独立，还是互为影响？这有待查实，但影响到罗素是明显的。但蕴涵式的可能模态解释，罗素始终没有接受。
这个学者独立发现某种新东西的可能性，在C.I刘易斯的文字中也有描述。刘易斯在论述麦克考尔1878-80年代发表的头两篇论文，《等价命题演算》和《论符号推理》时，这样来评价麦克考尔。刘易斯说：这两篇论文，
展现出一个命题演算，这个命题演算本质上具有皮尔斯构造的演算所具有的性质，只是没有皮尔斯使用的两个运算符号，一个运算符号是∏，另一个运算符号是∑。换句话说，这是一个命题演算，如同我们现在所熟知的逻辑的二值代数。这些论文指示的时间却在标识，他和皮尔斯几乎同时独立地在处理这些逻辑问题，他们都是独立地建立起这样的命题演算。而且，事实上，麦克考尔1878年写这两篇论文时，他也没有见到过布尔的著作。
（参见C.I刘易斯《符号逻辑概览》第108页）
麦克考尔坚持他早年的命题演算中所表述的观念，在这些论文中，他评论当时属于类逻辑中的那个类的时候，他特别强调，命题很可能是一种超越“类“，也超越”词项“的东西。因为在真值属性的含义之间，还应该有超越绝对真和绝对假的东西。
例如以下的三类命题
命题1：3>2
命题2：3<2
命题3：布朗先生不在家
前两种命题真假立判，但第三个命题，则依据你对命题提及到内容所具备的知识，你才可判定，它自然是可能真，或者可能假。逻辑值由此也就很可能超越二值。可以说，这个”可能“概念，一直都是萦绕在麦克考尔脑际的逻辑幽灵。
三、模态逻辑的先声
到了麦克考尔的晚年，1906年，他出版了《符号逻辑及其应用》一书。这本书具有和他以前的演算全然不同的风貌，使用了更多更复杂的符号。命题演算中的传统二值，他改进为多值，分别是“真“，”假“，”确定“，”不可能“，”变元“，这个变元表示的是不确定和并非不可能。这些命题的值，都用不同的希腊字母符号表示，结果就成为一个高度复杂的命题演算系统。但这样构造的结果，他引入的那些模态符号就显得不太清晰，前后难以一致。
但是，麦克考尔的这个尝试，在现代逻辑史上，被看作是现代模态逻辑的一个不太清晰的开端。他在这个系统中出现的基本观念，启发了他之后的逻辑学者，C.I刘易斯的严格蕴涵系统就承继了这个系统的不少基本观念，因为麦克考尔的先驱性工作，再加上C.I刘易斯在这个基础上的进一步完善，一个不同于现代经典逻辑的新逻辑，模态逻辑也就横空出世，为现代逻辑大家族，增加了一个新的群落。