线性代数的本质第二章——线性组合、生成空间与基底向量

数学需要的不是天赋，而是少量的*想象，但想象太过*又会陷入疯狂 ——安古斯·罗杰斯
Mathematics requires a small dose, not of genius, but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity - Angus K. Rodgers

线性组合

• 每当我们用数字描述向量时，它都依赖于我们正在使用的基。
• 两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合。
• 至于为什么被称为“线性”，有一种几何直观：如果你固定其中一个标量，让另一个标量*变化，所产生的向量终点会描出一条直线。
  
  当你只考虑一个向量时，就把它看作箭头。当你考虑多个向量时，就把它看作点。

张成的空间

• 对大部分二维向量对来说，它们张成的空间是整个无限大的二维平面。
• 三维空间：在空间中取两个指向不同方向的向量，这两个向量张成的空间就是他们所有可能的线性组合。所有终点落在某一过原点平面上的向量的集合就是这两个向量张成的空间
• 一组向量中至少有一个是多余的，没有对张成空间做出任何贡献，你有多个向量，并且可以移除其中一个而不减小张成的空间，我们称它们是线性相关的。
• 如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，我们称它们线性无关。

基

向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集