【Advanced控制理论】Nonlinear Adaptive Controller非线性自适应控制器（附Simulink程序）

在上一篇BLOG中谈到了非线性反馈控制器，其中系统的所有参数均为已知，这样的系统称为Exactly Known System。若系统中的参数未知该如何求解，由此引出Nonlinear Adaptive Controller。DR_CAN的相关视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1yW411u7qv

在之前的Tracking Problem中，系统的状态方程为：$\dot{x}=ax^2+u\tag{1}$x˙=ax2+u(1)

设：$e=x_{d}-x\tag{2}$e=xd​−x(2)$\dot{e}=\dot{x}_{d}-\dot{x}=\dot{x}_{d}-ax^2-u\tag{3}$e˙=x˙d​−x˙=x˙d​−ax2−u(3)

定义:$V_{(e)}=\frac{1}{2}{e}^2\tag{PD}$V(e)​=21​e2(PD)$\dot{V}_{(e)}=e\dot{e}=e(\dot{x}_{d}-ax^2-u)\tag{4}$V˙(e)​=ee˙=e(x˙d​−ax2−u)(4)

令：$u=\dot{x}_d-ax^2+ke\tag{5}$u=x˙d​−ax2+ke(5)

这样$\dot{V}_{(e)}=-ke^2$V˙(e)​=−ke2为$ND$ND，将$(5)$(5)式代入$(3)$(3)式得到：$\dot{e}=-ke$e˙=−ke，整个过程为Feedback Linearization。

以上是在$a$a为已知的情况下，假设有这样一个模型：给一小车施加一个力$F$F，使得小车以期望速度$\dot{x}$x˙运动，其中车上载有一个人的质量为$m$m，我们期望不论人的质量为多少，小车均能按照稳定速度运动，即Adapt the unkonwn parameter。假设$a$a是一个缓慢变化的常数，即$\dot{a}=0$a˙=0。引入Estimate：$\hat{a}$a^和Estimate error：$\tilde{a}=a-\hat{a}$a~=a−a^，得到：$\dot{\tilde{a}}=\dot{a}-\dot{\hat{a}}=-\dot{\hat{a}}\tag{6}$a~˙=a˙−a^˙=−a^˙(6)

此时$u=\dot{x}_d-\hat{a}x^2+ke\tag{7}$u=x˙d​−a^x2+ke(7)

定义Lyapunov function$V_{(e,\tilde{a})}=\frac{1}{2}e^2+\frac{1}{2}\tilde{a}^2\tag{PD}$V(e,a~)​=21​e2+21​a~2(PD)$\dot{V}=e\dot{e}+\tilde{a}\dot{\tilde{a}}=e(\dot{x}_{d}-ax^2-u)-\tilde{a}\dot{\hat{a}}\tag{8}$V˙=ee˙+a~a~˙=e(x˙d​−ax2−u)−a~a^˙(8)

将$(7)$(7)代入$(8)$(8)式得：$\dot{V}=e(-(a-\hat{a})x^2-ke)-\tilde{a}\dot{\hat{a}}=-e\tilde{a}x^2-ke^2-\tilde{a}\dot{\hat{a}}=-ke^2-\tilde{a}(ex^2+\dot{\hat{a}})\tag{9}$V˙=e(−(a−a^)x2−ke)−a~a^˙=−ea~x2−ke2−a~a^˙=−ke2−a~(ex2+a^˙)(9)

其中$-ke^2$−ke2为$ND$ND，令$\dot{\hat{a}}=-ex^2$a^˙=−ex2，这样$(9)$(9)式后半部分为$0$0，即：$\dot{V}_{(e,\tilde{a})}=-ke^2\tag{NSD}$V˙(e,a~)​=−ke2(NSD)

此时无法判定$e\rightarrow0$e→0和$\tilde{a}\rightarrow0$a~→0，只能确定二者稳定，需要引入Lyapunov-like lemma：
$1）V\ge 0$1）V≥0
$2）\dot{V}\le-g(t)，where\space g(t)\ge0$2）V˙≤−g(t)，where g(t)≥0
$3）\dot{g}(t)\in L，if\space \dot{g}(t)\space is\space bounded\space the\space {g}(t)\space is\space uniformly\space continuous$3）g˙​(t)∈L，if g˙​(t) is bounded the g(t) is uniformly continuous
$then\space \lim\limits_{t\to\infty}g(t)=0$then t→∞lim​g(t)=0

在本模型中，$V$V为$PD$PD自然满足$PSD$PSD，满足$(1)$(1)；
$\dot{V}=-ke^2$V˙=−ke2，令$g(t)=ke^2\ge0$g(t)=ke2≥0，满足$(2)$(2)；
$\dot{g}(t)=2ke\dot{e}$g˙​(t)=2kee˙是收敛的且$g(t)$g(t)为一致连续的，满足$(3)$(3)。
即可得出结论$\lim\limits_{t\to\infty}ke^2=0$t→∞lim​ke2=0，即在$t\to\infty$t→∞时$e\to0$e→0，令：$\dot{\hat{a}}=-ex^2=-\int_{0}^{t}ex^2dt\tag{10}$a^˙=−ex2=−∫0t​ex2dt(10)

将$(10)$(10)式代入$(7)$(7)式得出：$u=\dot{x}_d+x^2\int_{0}^{t}ex^2dt+ke$u=x˙d​+x2∫0t​ex2dt+ke

即我们要求的最终结果。

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以下为Matlab Simulink程序仿真：

当期望值$x_d$xd​设为常数$2$2，$a$a设为$[2\space4]$[2 4]的$Repeating\space Sequence\space Stair$Repeating Sequence Stair时，仿真结果如下：

其中黄线为期望值，蓝线为实际值，追踪结果良好。系统输入$u$u曲线如图：
可以看到初始时输入很大，后期输入基本为$0$0。

Simulink程序链接：
链接：https://pan.baidu.com/s/1IUelPowOM9osWAK-Za3G9Q
提取码：ehxq