可分离卷积的运算量比较与分析（一维、二维卷积）

1、一维卷积和二维可分离卷积

对于高斯平滑二维卷积滤波器，可以将其分解为两次一维卷积，这两种方案在运算量上有明显的差别。

设滤波函数为：

对图像????(????, ????)与ℎ(????, ????)进行卷积与运算，记边界索引???? = (???? − 1)/2，即：

2、运算量分析

对于单纯的一个像素点来说，采用二维卷积和分解方法，其实运算量差别不大。但是对于整幅图像来说，分解方法中可以实现一些乘法结果的复用，这就可以降低乘法的运算量了。

2.1 直接进行二维卷积

如果对卷积之前根据卷积核的大小对图像边界进行补零，卷积前后图像大小不变，因而可以直接得到约等号后面的结果（如下图所示）。

2.2 两次一维卷积

3、关于减少运算量的解释

相比于直接使用二维卷积，虽然当卷积函数具有一定对称性时，也具有简化的空间，但是一般而言，直接进行二维卷积是无法进行计算值复用的，这使得二维可分离卷积分离后的运算量更小。

参考文献
[1]姜杭毅, 蔡元龙. 二维可分解算子对图象的卷积运算[J]. 电信科学, 1988(07):34-37.