外星人的算术
外星人的算术
多年以前,华罗庚先生曾写过一段意味深长的话,他说:
“如果我们的宇宙航船到了一个星球上,那儿也有如我们人类一样的高级生物存在,那么我们用什么东西作为我们之间的媒介,带幅画去吧,那边风景殊,不了解;带一段录音去吧,也可能沟通,我看最好带两个图形去一个“数”一个“数形关系"。”
青少年们喜欢阅读科学幻想小说,这对发展他们的想象力大有好处,当然也得防止一些盗墓故事的泛滥,那可是十足的歪门邪道,其实我国著名作家老舍先生也曾写过科幻小说名叫《猫城记》,有趣的是在那个奇怪的星球上,数目也达十几亿之多的”人“同我们大不一样,他们不是从猿到人,而是从“猫”进化到“人”的!
外星人像人吗?对于这个重大问题,不论在科幻小说、电影、电视里头从来就有两派意见,即“人形”(humanoid)与非人形(non-humanoid)之争,人为万物之灵,为了更好的获取外界信息,视觉,听觉,嗅觉器官必须安置在身体的最高点,为了有立体感,必须平行的朝前方;……;说到底,人形的结构理应是任何高等智慧生物的标准结构,上述观点,你们认为言之有理吗?
“非人形”派的拥护者则认为,这种推论是“人类中心主义”的典型例子,实在不值一笑,生命的形式是变化多端的,生物进化过程中充满着无数偶然因素,在别的星球上,”人“可能由“虫”进化而来,甚至生着千手千眼,总之在浩瀚的银河系里,这是一片完全未知的领域,它带来了无穷的可能性。
但科幻小说家们几乎都有一种共识,有着高度智慧的外星人——天龙八部(金庸先生精通佛学,所以取此作为他的一部名著的书名。实际上,天龙八部在“六道”中属于“阿修罗道”,其智慧神通与寿命都大大超过人类)必然精通数学。他们的算术与代数不见得同我们一样,也许并不采用十进制,但他们所使用的进位制中,照样能够发展出一套近乎完美的计算方法,同样能够反映宇宙中客观存在的普遍自然规律。
众所周知,在世界各国,现在几乎已经是十进制的一统天下,就连最保守的英国人也不得不适应世界的潮流,改革了他们长达几百年的货币制度。从前,在丘吉尔做首相的时代,规定一英镑=20先令,一先令=12便士,所以一英镑=240便士,如今却变成1英镑=100便士了。
但也不能认为,十进位已经排斥了其他的一切进位制度,由他一家打天下了,君不见:一年分四季,一昼夜有二十四小时,一星期有七天,十二生肖每十二年周而复始,一小时有六十分钟,一分有六十秒,以及“红透半边天”,在电脑里头唱主角的二进位数0与1,它们都不是十进位。看来,即使再过几百年,在地球上,十进位制,也未必能够把别的所有进位制通通“吃”掉。
在我们的中、小学里,除角度时间等少数自然常识课里略微提到的例外:几乎不讲其他进位制,这种做法有着很大缺点,造成学生缺乏想象力,目光短浅,淡化了对客观世界多样性与自然规律的认识与理解,在这方面做些改进,既是需要的,也是可以做到的。
为了做出有趣对比,让我们把一个意义深长的分数七分之一,在其他进位制里所表现出来的不同面貌列举如下:
十进位:0.142857…,(1,7循环,循环节7位)
九进位:0.125125…(仍是循环小数,但循环节只有三位了),
八进位:0.111…(循环节只剩一位了),
七进位:0.1,(不是循环小数,竟变成有限小数了),
六进位:0.0505…,(循环节只有两位了,0,5循环),
到此地步,6及其因子,3,2,1,都可作为循环节的节数,各种情形均已出现。
现在干脆来个“一不做二不休”,索性放开手,继续做下去:
五进位:0.032412(循环节也有六位置多,同十进位的情形极为类似,5是一只手的手指数,而10是双手的手指数,对此你或许会若有所悟)。
四进位:0.021021…,(循环节三位,0,1循环)
三进位:0.010212…,(循环节六位,0,2循环)
二进位:0.001001…,(循环节三位,0,1循环)
由于许多算数课本、杂志、辅导书:“一课一练”……一遍又一遍地不断重复,许多人都知道在十进制中,1/7有一个非常奇妙的“车轮转”性质,或者换一种说法,1/7是个“走马灯数”,试看来源于1/7,又从它“摇身一变”,从“侏儒”变作“巨人”的六位数142857似乎更神奇,更玄乎:
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
不难看出,乘积还是这6个数字,甚至各数相互之间的顺序也未改变,好像正月十五元宵节时,走马灯里的人物在团团打转!
那么,在其他进位制中,这样的怪异性质是否也存在呢呢?对比是要有共同基础的,上面已经说过,在五进位中,1/7的循环节也有六位,现在就以五进位为例来认真考虑一下。
为了看清楚转圈子的循环规律,首位的0不可以丢,需要加以保留,银行帐号,电话号码,邮政编码早已如此,读者们恐怕也习惯了:
032412×2=120324
032412×3=203241
032412×4=241203
032412×5=324120
032412×6=412032
“走马灯”不是照旧团团转吗?
还有一项奇妙性质也不能忽视,那就是142857×7=999999
结果接连出现6个9,我们知道,在十进位里,9是“老大哥”,不过,在别的进位里,“老大哥”这把太师椅是要由别的数字来“坐”了,譬如说:在九进位中,8是“老大哥”,而四进位里,连原来的小三子居然也变成了“老大哥”。
让我们用“倒计时”的办法在各种进位制里做一做相应的“乘法”,于是得到:
九进位:125125×7=888888,
八进位:111111×7=777777,
七进位中,1/7不是循环小数,所以从略,
六进位:050505×7=555555,
五进位:032412×7=444444,
四进位:021021×7=333333,
三进位:010212×7=222222,
二进位:001001×7=111111,
大家都在“轮流坐庄”,足见自然界并不是特别偏爱十进位,自然规律如此美妙,普适性无处不在,让我们大开眼界了。
最后略为交代几句,因为我们平时太习惯于做十位数的加、减、乘、除,对其他进位制中的运算(除了二进位,因为电脑现已十分普及)非常生疏,所以一些人会对1/7的不同面孔有点看不太懂,这是情有可原的。
*文章摘自《数学不了情》,谈祥伯著,科学出版社。
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