算法导论 — 8.1 排序算法的下界

笔记

我们所熟知的插入排序、归并排序、快速排序等排序算法，它们的排序过程都依赖于比较元素间的大小，我们称这些算法为比较排序。本节讨论比较排序算法的运行时间的下界。
　　给定一个输入序列$<a_1, a_2, …,a_n>$<a1​,a2​,…,an​>。为简化分析，假定所有输入元素都是互异的。
　　比较排序可以抽象为一棵决策树。下图决策树展示了插入排序算法作用于包含3个元素的输入序列的情况。决策树是一棵完全二叉树。每个非叶结点都以$i : j$i:j标记，表示一对元素$a_i$ai​和$a_j$aj​的比较过程。插入排序从根结点开始，根据结点的比较结果，逐层向下走。在一个非叶结点，如果比较之后确定两个元素的大小关系为$a_i ≤ a_j$ai​≤aj​，那么进入左子树；如果比较之后确定两个元素的大小关系为$a_i > a_j$ai​>aj​，那么进入右子树。当到达一个叶结点时，表示已经排好序。每一个叶结点都表示一个可能的排好序的序列。
　　
　　对于一个有$n$n个元素的序列来说，可能的排好序的序列一共有$n!$n!种，对应的决策树就有$n!$n!个叶结点。一个排序过程的运行时间取决于它所包含的比较次数。对于一个确定的排序过程，比较次数等于从决策树的根结点到一个叶结点的路径长度。因此，一个排序算法的最坏情况比较次数等于其决策树的高度，即从根结点到最低层次叶结点的路径长度。
　　考虑一棵高度为$h$h、具有$l$l个叶结点的决策树，它对应一个有$n$n个输入元素的排序算法。因为输入数据的$n!$n!种可能的排列都是叶结点，所以有$n! ≤ l$n!≤l。由于在一棵高度为$h$h的二叉树中，叶结点的数目最多为$2^h$2h个，因此有$n! ≤ l ≤ 2^h$n!≤l≤2h。对该式取对数，得到$h ≥ {\rm lg}(n!) = Ω(n{\rm lg}n)$h≥lg(n!)=Ω(nlgn)。于是可以得到，在最坏情况下，任何比较排序算法都至少需要做$Ω(n{\rm lg}n)$Ω(nlgn)次比较。

练习

8.1-1 在一棵比较排序算法的决策树中，一个叶结点可能的最小深度是多少？
　　略
　　
8.1-2 不用斯特林近似公式，给出${\rm lg}(n!)$lg(n!)的渐近紧确界。利用A.2节中介绍的技术来累加和$\sum_{k=1}^{n}{\rm lg}k$∑k=1n​lgk。
　　解
　　${\rm lg}k$lgk为单调递增函数，根据A.2节结论，可以通过积分近似方法来累加和$\sum_{k=1}^n{\rm lg}k$∑k=1n​lgk的渐近紧确界。
　　$\sum_{k=1}^n{\rm lg}k={\rm lg}1+\sum_{k=2}^n{\rm lg}k=\sum_{k=2}^n{\rm lg}k≥∫_1^n({\rm lg}k)dk=n{\rm lg}n-\frac{(n-1)}{{\rm ln}2}$∑k=1n​lgk=lg1+∑k=2n​lgk=∑k=2n​lgk≥∫1n​(lgk)dk=nlgn−ln2(n−1)​
　　由上式可以得到，$\sum_{k=1}^n{\rm lg}k=Ω(n{\rm lg}n)$∑k=1n​lgk=Ω(nlgn)成立。
　　
8.1-3 证明：对$n!$n!种长度为$n$n的输入中的至少一半，不存在能达到线性运行时间的比较排序算法。如果只要求对$1/n$1/n的输入达到线性时间呢？$1/2^n$1/2n呢？
　　解
　　一棵高度为$h$h的决策树最多有$2^h$2h个叶结点。
　　对于一个含$n$n个元素的序列，如果可能的排列一共有$n!/2$n!/2种，那么其决策树的叶结点数目满足$2^h ≥ n!/2$2h≥n!/2。可以得到$h ≥ {\rm lg}(n!) − 1 = Ω(n{\rm lg}n)$h≥lg(n!)−1=Ω(nlgn)。因此对于至少$n!/2$n!/2种可能的排列，比较排序算法也不能达到线性运行时间。
　　如果可能的排列一共有$n!/n$n!/n种，，那么其决策树的叶结点数目满足$2^h ≥ n!/n$2h≥n!/n。可以得到$h ≥ {\rm lg}(n!) − {\rm lg}n = Ω(n{\rm lg}n)$h≥lg(n!)−lgn=Ω(nlgn)。这种情况下，比较排序算法也不能达到线性运行时间。
　　如果可能的排列一共有$n!/2^n$n!/2n种，，那么其决策树的叶结点数目满足$2^h ≥ n!/2^n$2h≥n!/2n。可以得到$h ≥ {\rm lg}(n!) − n = Ω(n{\rm lg}n)$h≥lg(n!)−n=Ω(nlgn)。这种情况下，比较排序算法也不能达到线性运行时间。

8.1-4 假设现有一个包含$n$n个元素的待排序序列。该序列由$n/k$n/k个子序列组成，每个子序列包含$k$k个元素。一个给定子序列中的每个元素都小于其后继子序列中的所有元素，且大于其前驱子序列中的每个元素。因此，对于这个长度为$n$n的序列的排序转化为对$n/k$n/k个子序列中的$k$k个元素的排序。试证明：这个排序问题中所需比较次数的下界是$Ω(n{\rm lg}k)$Ω(nlgk)。(提示：简单地将每个子序列的下界进行合并是不严谨的。)
　　解
　　正如提示所言，我们不能简单将每个子序列的下界进行合并。因为这种做法引入了一个前提，那就是我们采用的排序算法必须是独立地对每个子序列进行排序的，元素间的比较仅限于各子序列内部。而对于那些存在跨子序列比较的排序算法，这一做法并没有考虑进来。因此这一做法是不严谨的。
　　我们还是需要将整个序列当做一个整体来考察。每个子序列都有$k!$k!种可能的排列，一共有$n/k$n/k个子序列，那么整个序列一共有$(k!)^{n/k}$(k!)n/k种可能的排列。假定针对该序列的排序算法的决策树的高度为$h$h，那么满足$2^h ≥(k!)^{n/k}$2h≥(k!)n/k，两边取对数可得到
　　$h≥{\rm lg}[(k!)^{n⁄k} ]=\frac{n}{k}{\rm lg}(k!)=Ω(n{\rm lg}k)$h≥lg[(k!)n⁄k]=kn​lg(k!)=Ω(nlgk)