基本概念

二维高斯模糊，或者说高斯滤波，是图像处理中非常常见的操作。操作的核心是使用一个从高斯分布中采样得到的掩膜，或者叫核，和输入图片中的每个像素及其邻域进行计算，结果保存到输出图片中。假设高斯核窗口尺寸为，高斯分布的标准差为 ，则高斯核可以表示为矩阵的形式 

由于高斯分布的概率密度函数的非零值区间主要集中在  内，所以为了保证选取的高斯核的完整性，一般取 。

说完了高斯核，该说高斯模糊的表达式了。设输入图片为 ，输出图片为 ，第  行第  列的数据表示为  和 ，则使用窗口大小为 ，标准差为  的高斯核计算后的结果为 

可分离核形式实现

但是，注意到，高斯核的表达式是可分离的。下面为了表示方便，令 

符合局部性原则的内存访问加速

下面来考虑上述方法在内存访问效率方面的问题。利用  和  计算  的过程中，内存访问都是连续的，都是从左到右的形式。但是在利用  和  计算  的过程中，取出每一列中的相邻数据，需要跨行。如果需要处理的图片宽度比较大，跨行访问数据可能会导致 Cache Miss，这是违反了内存访问局部性原则的。为了解决这一问题，利用  和  计算  的方法需要调整。

实际上，利用  和  计算  同样可以按行的方式计算。为了表述方便，以计算  的第 2 行（下标从 0 开始）为例， 

其中  表示  的第  个元素， 表示  的第  行。

在代码实现的时候，为了计算 ，初始化一个长度为 8 的浮点数行向量 ，令里面的值全等于零，然后用遍历行元素的方式进行如下计算 

最后将  中的浮点数的值四舍五入赋值给 。这样就避免了内存访问跨行的问题。注意，为了满足内存访问的局部性，增加了内存使用量，多用了 。

对于边界行，按照镜像对称的方式选取相应行进行计算。比如，为了计算 ，初始化一个长度为 8 的浮点数行向量 ，令里面的值全等于零，然后用遍历行元素的方式进行如下计算 

最后将  中的浮点数的值四舍五入赋值给 。

扩展与总结

本文中所讲述的高斯模糊的计算方法，可以扩展到任意尺寸可分离核的滤波的实现。

设输入数据为 ， 行  列，滤波核为 ， 行  列，使用  对  进行二维滤波的结果是 。而直接采用二维循环的原始计算方法，需要进行  次乘法计算和  次加法计算。计算的时间复杂度是  的。

如果  是可分离核，可以写成列向量  和行向量  相乘的形式，即 。那么在计算滤波结果  的时候，可以先用  对  进行行滤波计算，将计算结果保存到  中，计算  中的每一个数值需要  次乘法计算和  次加法计算。再使用  对  进行列滤波计算，得到最终结果 。在  的基础上计算  中的每一个数值需要  次乘法计算和  次加法计算。总的来说，根据  计算  中的一个数值，需要进行  次乘法计算和  次加法计算。计算的时间复杂度从 降至 。

列滤波的过程还可以考虑内存访问的局部性原则，以提高程序的运行效率。

可分离核的实现方法和列滤波的内存访问加速的实现方法，都需要消耗额外的内存，用空间复杂度的提高换取时间复杂度和效率的改进。