【你也能看得懂的电磁场与电磁波系列连载 34】

今天我们就正式开始进入斜入射的世界啦！斜入射也就意味着平面波的传播方向和入射平面之间是有了一个夹角的，下面我们就来看看立体图：

我们先细品一下这个图哈——
首先，我们这个图只是画出来电场，没有画磁场（因为根据波和电场的方向，磁场的方向我们都是可以自行确定的）。而且，分析反射定律和折射定律呢，只看电场也就够了。

其次，上图中的绿色块是介质2，绿色块上面的是介质1；肤色平面是入射平面。

他这个红色箭头的电场（入射、反射和折射）都是立体的，而这些立体方向的电场都可以分解为两个方向的分量—— 垂直于入射平面的分量 + 平行于入射平面的分量。

OK，下面我们开始写入射电场的表达式，首先回顾一下我们在上一个连载所讨论的斜入射电场的通式：

那么这里因为是入射电场，所以是 $\bar{k}_i$kˉi​，方向的话写成 $\bar{a}_n$aˉn​，其他不变。那么 $\bar{k}_i$kˉi​ 怎么写呢？我们看看下面的图：

我们很明显可以看到 ，$\bar{k}_i$kˉi​ 只有 +x 和 +z 两个方向的分量，由于模值是 $k_i$ki​ ，所以 $\bar{k}_i$kˉi​ 我们可以写成：

那么我们就可以写出：$\bar{k}_i \sdot \bar{r}$kˉi​⋅rˉ，即：

所以我们就可以写出斜入射入射电场的表达式了：

值得注意的是，这里的 $\dot{\bar{E}}_{i0}$Eˉ˙i0​是有效值矢量。

那么按着我们这样的思路，就可以把反射电场、折射电场都写出来：


那么根据电场的边界条件（在分界面 z = 0 处的切向方向电场连续），即：

那么，我们就有：

我们把分界面（z = 0）带进去，这很重要。就可以得到：

而我们知道上面这个等式应该对于任何 x 都成立（这是肯定的，因为边界方程不会因为你电磁波从哪个x位置入射就发生改变），所以，这个指数项应该是可以消掉的。即：

进一步就可以得到：

别忘了，k是波数，我们在之前讨论电磁波参数的连载里面就讲过 k 的计算公式：

而我们发现：入射电场和反射电场都是在一种介质里面的，所以介电常数和磁导率都一样，而电磁波的传播频率我们一般认为是不变的，所以有：$k_i = k_r$ki​=kr​，当然他们和 $k_t$kt​ 就肯定是不一样的了。

所以我们就发现：入射角应该等于反射角！

这就是反射定律。

同理我们可以导出：

这就是折射定律！

好啦，这就是本次连载的全部内容了，我们看到，这些立体方向的电场都可以分解为两个方向的分量—— 垂直于入射平面的分量 + 平行于入射平面的分量。那么这两个方向分量的电场入射又有什么性质呢？下一个连载见！