什么是RSA算法
常见的加密算法包括对称加密和非对称加密,对称加密算法一般应用于数据的加密。而非对称加密算法,一般用在签名认证和对称加密秘钥协商过程中(加密对称秘钥)。
加密算法历史
1976年以前,所有的加密方法都是同一种模式:
(1)甲方选择某一种加密规则,对信息进行加密;
(2)乙方使用同一种规则,对信息进行解密。
由于加密和解密使用同样规则(简称"**"),这被称为"对称加密算法"(Symmetric-key algorithm)。
这种加密模式有一个最大弱点:甲方必须把加密规则告诉乙方,否则无法解密。保存和传递**,就成了最头疼的问题。
"非对称加密算法"则没有这个问题,其主要工作流程如下:
(1)乙方生成两把**(公钥和私钥)。公钥是公开的,任何人都可以获得,私钥则是保密的。
(2)甲方获取乙方的公钥,然后用它对信息加密。
(3)乙方得到加密后的信息,用私钥解密。
由于公钥加密的信息只有私钥解得开,那么只要私钥不泄漏,通信就是安全的。
1977年,三位数学家Rivest、Shamir 和 Adleman 设计了一种算法,可以实现非对称加密。这种算法用他们三个人的名字命名,叫做RSA算法。从那时直到现在,RSA算法一直是最广为使用的"非对称加密算法"。毫不夸张地说,只要有计算机网络的地方,就有RSA算法。
这种算法非常可靠,**越长,它就越难**。根据已经披露的文献,目前被**的最长RSA**是768个二进制位。也就是说,长度超过768位的**,还无法**(至少没人公开宣布)。因此可以认为,1024位的RSA**基本安全,2048位的**极其安全。
RSA算法计算过程
我们通过一个例子,来理解RSA算法。假设爱丽丝要与鲍勃进行加密通信,她该怎么生成公钥和私钥呢?
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第一步,随机选择两个不相等的质数p和q。
爱丽丝选择了61和53。(实际应用中,这两个质数越大,就越难**。)
第二步,计算p和q的乘积n。
爱丽丝就把61和53相乘。
n = 61×53 = 3233
n的长度就是**长度。3233写成二进制是110010100001,一共有12位,所以这个**就是12位。实际应用中,RSA**一般是1024位,重要场合则为2048位。
第三步,计算n的欧拉函数φ(n)。
根据公式:
φ(n) = (p-1)(q-1)
爱丽丝算出φ(3233)等于60×52,即3120。
第四步,随机选择一个整数e,条件是1< e < φ(n),且e与φ(n) 互质。
爱丽丝就在1到3120之间,随机选择了17。(实际应用中,常常选择65537。)
第五步,计算e对于φ(n)的模反元素d。
所谓"模反元素"就是指有一个整数d,可以使得ed被φ(n)除的余数为1。
ed ≡ 1 (mod φ(n))
这个式子等价于
ed - 1 = kφ(n)
于是,找到模反元素d,实质上就是对下面这个二元一次方程求解。
ex + φ(n)y = 1
已知 e=17, φ(n)=3120,
17x + 3120y = 1
这个方程可以用"扩展欧几里得算法"求解,此处省略具体过程。总之,爱丽丝算出一组整数解为 (x,y)=(2753,-15),即 d=2753。
至此所有计算完成。
第六步,将n和e封装成公钥,n和d封装成私钥。
在爱丽丝的例子中,n=3233,e=17,d=2753,所以公钥就是 (3233,17),私钥就是(3233, 2753)。
实际应用中,公钥和私钥的数据都采用ASN.1格式表达(实例)。
加密和解密
有了公钥和**,就能进行加密和解密了。
(1)加密要用公钥 (n,e)
假设鲍勃要向爱丽丝发送加密信息m,他就要用爱丽丝的公钥 (n,e) 对m进行加密。这里需要注意,m必须是整数(字符串可以取ascii值或unicode值),且m必须小于n。
所谓"加密",就是算出下式的c:
me ≡ c (mod n)
爱丽丝的公钥是 (3233, 17),鲍勃的m假设是65,那么可以算出下面的等式:
6517 ≡ 2790 (mod 3233)
于是,c等于2790,鲍勃就把2790发给了爱丽丝。
(2)解密要用私钥(n,d)
爱丽丝拿到鲍勃发来的2790以后,就用自己的私钥(3233, 2753) 进行解密。可以证明,下面的等式一定成立:
cd ≡ m (mod n)
也就是说,c的d次方除以n的余数为m。现在,c等于2790,私钥是(3233, 2753),那么,爱丽丝算出
27902753 ≡ 65 (mod 3233)
因此,爱丽丝知道了鲍勃加密前的原文就是65。
至此,"加密--解密"的整个过程全部完成。
我们可以看到,如果不知道d,就没有办法从c求出m。而前面已经说过,要知道d就必须分解n,这是极难做到的,所以RSA算法保证了通信安全。
实践应用
你可能会问,公钥(n,e) 只能加密小于n的整数m,那么如果要加密大于n的整数,该怎么办?有两种解决方法:一种是把长信息分割成若干段短消息,每段分别加密;另一种是先选择一种"对称性加密算法"(比如DES),用这种算法的**加密信息,再用RSA公钥加密DES**。