原子物理/狭义相对论初步

衰变定律$N=N_0e^{-\lambda t}$N=N0​e−λt

定义衰变活跃度$A=\frac{-\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$A=dt−dN​，代入衰变定律可以得到$A=-\lambda N_0e^{-\lambda t}=-\lambda N$A=−λN0​e−λt=−λN

国际单位制中，$A$A的单位是Becquerel$(Bq)$(Bq)，定义为每秒钟有一个核发生了衰变。常用单位有Curie$(Ci)$(Ci)，$1Ci=3.7*10^{10}Bq$1Ci=3.7∗1010Bq

定义半衰期$\tau$τ表示核衰变至数量为原来一半的平均时间。满足$\frac{N_0}{2}=N_0e^{-\lambda \tau}$2N0​​=N0​e−λτ，可以解出$\tau=\frac{\ln2}{\lambda}$τ=λln2​
值得注意的是，半衰期取决于原子核内部，与任何外界因素无关衰变规律是基于大量粒子的统计规律，不能精确地反映出粒子的具体衰变情况，只能作为大致的数量级估算和半定量分析，不表示某一个经过多长时间衰变。

原子核

1. 原子核的组成——有赖于原子和中子的发现
   1919年，Rutherford用$\alpha$α粒子轰击原子核，发现原子。反应方程式：$^9_4Be+^4_2He\to^{12}_6C+^1_0n$49​Be+24​He→612​C+01​n
   质子数=核电荷数=原子序数$Z$Z
   中子数$N$N
   质量数$A$A
   引入原子质量单位$u$u——规定$^{12}_6C$612​C处于其基态并静止的时候，质量为$12u$12u（$12$12个原子质量单位） ，计算得$1u=1.6605402*10^{-27}kg$1u=1.6605402∗10−27kg
   质子质量$m_p=1.6726*10^{-27}kg=1.00728u\approx1u$mp​=1.6726∗10−27kg=1.00728u≈1u
   中子质量$m_n=1.6749*10^{-27}kg=1.008664u\approx1u$mn​=1.6749∗10−27kg=1.008664u≈1u

2. 原子核的大小和形状：用高能电子散射实验探测电子分布
   实验结果：原子核体积$V\propto$V∝质量数$A$A
   令$R$R表示核电荷分布半径，$R=r_0A^{\frac{1}{3}}$R=r0​A31​，$r_0$r0​称为核半径参量，不完全是常数。$r_0\approx1.20fm\to 1.32fm$r0​≈1.20fm→1.32fm，从重到轻依次增加
   于是体积$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi r_0^3A\propto A$V=34​πR3=34​πr03​A∝A

3. 核子

   1. 组成核的作用力，属于强相互作用
   2. 属于短程力，只对相邻的核子有作用
      作用半径$R'=r_0A^{\frac{1}{3}},r_0\approx 1.4\to1.5fm,R'>R$R′=r0​A31​,r0​≈1.4→1.5fm,R′>R，核力作用半径大于电荷分布半径。因为这样的原因，轻核往往质子数核中子数相等，而重核质子数小于中子数，因为 原子核表面有中子层

4. 原子核结合能与平均结合能

   1. 结合能$\Delta E$ΔE：不是原子核具有的能量
      从结合角度定义：*核子结合成原子核的过程中，所释放的能量称为结合能（这个过程称为聚变）
      从分解角度定义：将原子核分解成为*核子的过程中，所吸收的最小能量称为结合能（这个过程称为裂变）
      从能量守恒的角度来看，大于结合能的能量自然可以将原子核分解成自然核子。类似于光电效应的电子阈能或称逸出功，结合能是一种能量的极限。
   2. 平均结合能$\Delta\bar{E}$ΔEˉ：原子核的结合能与其核内核子数的比值，也可以称为比结合能
      据定义：$\Delta\bar{E}=\frac{\Delta E}{A}$ΔEˉ=AΔE​，可以理解为：结合成原子核的过程中，平均每个核子释放出来的能量。
      比结合能和核子数的关系如下
      
      比结合能和质子数的关系如下图
      而平均每个核子释放的能量增加时，平均核子质量就会下降(Einstein质能方程)，故有：
      
      结论：$\Delta\bar{E}$ΔEˉ增大，意味着拆开核子所需的能量越多，意味着拆开原子核越困难，意味着原子核越稳定。

   例1：一个质子，一个中子合成一个氘核，$m_p+m_n=2.015942u,m_D=2.01355u$mp​+mn​=2.015942u,mD​=2.01355u，则$\Delta E=[(m_p+m_n)-m_D]c^2=0.002390uc^2$ΔE=[(mp​+mn​)−mD​]c2=0.002390uc2.
   而根据估算公式$1uc^2\approx 931.49043MeV\cdot c^{-2}(E=mc^2)$1uc2≈931.49043MeV⋅c−2(E=mc2)
   则上面的$\Delta E\approx 2.225MeV$ΔE≈2.225MeV
   平均结合能不难计算，此处省略。

5. 核能的释放：

   1. 从平均核子质量的角度看核能释放：$\Delta E=\Delta mc^2$ΔE=Δmc2，整个体系能量下降直接意味着质量会亏损。在核反应中，质量会亏损，但是质量数不变
      聚变时，生成物平均核子质量一定会减小，而裂变时生成物平均核子质量一定会增大。
   2. 从比结合能的角度看核能释放：
      以聚变为例，$A+B\to C$A+B→C，提示：先将AB拆成*粒子，再结合成C
      如$^2_1H+^2_1H\to ^4_2He$12​H+12​H→24​He
      $E_1=N_A\bar{E_A}+N_B\bar{E_B}$E1​=NA​EA​ˉ​+NB​EB​ˉ​
      $E_2=(N_A+N_B)\bar{E_C}$E2​=(NA​+NB​)EC​ˉ​
      由于$\bar{E_A}<\bar{E_C},\bar{E_B}<\bar{E_C}$EA​ˉ​<EC​ˉ​,EB​ˉ​<EC​ˉ​，反应释放能量 。

   例2：计算$^{232}_{90}Th$90232​Th原子核的$\Delta\bar{E}$ΔEˉ
   例3：$^9_4Be \Delta \bar{E_1}=6.45MeV,^4_2He \Delta\bar{E_2}=7.07Mev$49​BeΔE1​ˉ​=6.45MeV,24​HeΔE2​ˉ​=7.07Mev，做核反应：$^9_4Be\to^4_2He+^4_2He+^1_0n$49​Be→24​He+24​He+01​n，必须消耗多少能量?
   例4：已知放射性碘$^131I$131I半衰期为8天：
   1. 放射性常量$\lambda$λ为多少:-0.00000100282
   2. $1mCi$1mCi的放射性同位素需要多少碘同位素

   例5：$^{226}_{88}Ra$88226​Ra发生$\alpha$α衰变转变成$^{222}_{86}Rn$86222​Rn，并释放两种粒子，能量分别是$4.793MeV,4.612MeV$4.793MeV,4.612MeV。分别对应于$^{226}_{88}Ra$88226​Ra从同一能级跃迁到激发态和基态所发出的。同时$^{226}_{88}Ra$88226​Ra在上述衰变中还观测到$\gamma$γ射线，这是$^{222}_{86}Rn$86222​Rn从激发态到基态跃迁发出的。试求与两组$\alpha$α粒子对应的^{226}_{88}的衰变能，以及发出 $\gamma$γ光子的频率。
   注意衰变能公式$E_D=\frac{A}{A-4}E_{k\alpha}$ED​=A−4A​Ekα​，得能量即可。光子频率利用求得的$^{222}_{86}Rn$86222​Rn能极差即可
   例6：32届复赛第一题（碳循环）