关于交叉熵和sigmoid函数的组合

在神经网络的训练中，当使用的**函数为sigmoid函数时，选择的代价函数一般为交叉熵，而不是二次代价函数。
原因如下：
二次代价函数公式：

其中c代表代价函数，x代表样本，y代表实际值，a代表输出值，n为样本总数。

对w和b求偏导数：

根据偏导数的结果，w和b的梯度跟**函数的梯度成正比，**函数的梯度越大，w和b的大小调整得越快，训练收敛得就越快。
sigmoid函数的图像如下：

假设目标是收敛到1,A为0.82，距离目标较远，梯度较大，权值调整较大，权值调整比较大；B为0.98，距离目标较近，梯度小，权值调整比较小。方案合理。
假设目标是收敛到0,A为0.82，距离目标较近，梯度较大，权值调整较大，权值调整比较大；B为0.98，距离目标较远，梯度小，权值调整比较小。方案不合理。
所以使用二次代价函数结合sigmoid函数进行梯度下降训练，方案不合理。
如果把损失函数换成交叉熵：
交叉熵代价函数公式：


可见，权值和偏置的偏导数与代价函数的导数无关，只与输出值和实际值的差值有关。当误差越大时，梯度越大，w和b的调整越快，训练的速度也就越快。
因此，如果输出神经元是线性的，那么二次代价函数合适。如果输出神经元是s型函数，则损失函数适合交叉熵。