三维空间中判断射线与平面是否相交
摘要
本文内容包括:
- 三维空间中射线与平面的表示方法,
- 三维空间中判断射线与平面是否相交。
文末参考链接的资料都不错,但总漏点东西,所以把它们说总结到了一起。
三维空间中射线的表示方法
射线可以用三个量来表示:射线的起始点、射线的方向向量以及射线的长度。
如图所示的射线的参数方程为:
其中,为射线上的点,其所有可能的结果构成了整条射线;是射线的起点, 为射线的方向向量,为射线的长度且
三维空间中平面的表示方法
平面可以用二个量来表示:平面上任一点,过该点的平面法向量。
如图所示的平面的参数方程为:
其中,为变量,其所有可能的结果组成了这个平面;为平面上已知的某一点,为平面上过已知点的法向量。
公式的物理意义为:表示平面上的向量,其与平面法向量总是垂直的,故它们之间的内积为0.
三维空间中射线与平面是否相交的判断方法
射线与平面存在3种情况:
- 射线与平面平行。这时候肯定不相交。
- 射线与平面不平行。但平面在射线负方向,这时候也不相交。
- 射线与平面不平行。且平面在射线正方向,这时候射线与平面相交。
下面分情况讨论。
时,这时候肯定不相交。
时,射线与平面不平行,射线所在的直线
与平面必定相交于一点,记该点为,那么有:
带入射线参数方程, 有
解之得注意,这里是向量点积,所以分子分母的
不能消掉。
当时,交点在射线正方向上,所以射线与平面相交;
当时,交点在射线负方向上,所以射线与平面不相交。
相关/参考链接
- 射线与平面相交判断 | 讲得我觉得最好的,但是没有讲分母为0为射线与平面平行的情况
- 射线与平面相交 | 讲了分母为零的情况
- 射线、平面的表示方式 | 讲得很简洁,但是有地方没讲清楚