【论文】A Minimum Distortion Noise Reduction Algorithm With Multiple Microphones

学习麦克风阵列信号处理，记录论文实现过程
原论文地址 A Minimum Distortion Noise Reduction Algorithm With Multiple Microphones
代码地址：https://github.com/wangwei2009/spatial-temporal-LCMV

问题模型

k时刻各阵元输出表示如下：

向量表示如下

各相应符号定义如下

其中 ：
G n为通道冲击响应矩阵，大小为 L X Ls，Ls = L + Lg - 1,Lg 为冲击响应长度

问题模型:
给定 yn(k)$y_n(k)$ n = 1,2，……N,去估计其中的 xm(k)$x_m(k)$

确定信号模型后，估计目标信号xm(k)$x_m(k)$可以通过N个长度为L的FIR滤波器实现

误差信号表示如下

将（2）代入到（5）中，则误差信号可被分解成如下形式

其中

（6）式中的ex,m(k)$e_{x,m}(k)$项表征了目标信号xm(k)$x_m(k)$失真大小，该项越大，表示目标信号失真越大，为0则表示无失真。
同样的，（6）式中另外一项ev,m(k)$e_{v,m}(k)$表征了噪声抑制的强度，该项越小，表示残留噪声越小，最小化噪声的代价函数如下

其中E[ ]表示数学期望

目标函数
理想目标是在最大化抑制噪声的同时保持目标信号失真为0，则可以写出如下带约束条件的目标函数

针对（13）式，原论文中给出了N=1与N>=2的讨论

N = 1：时，在本文的模型基础上，要想保证约束条件成立，目标函数的解只能是如下形式

显然，以上的滤波器就是对原输入信号不做任何改变，这样，保证目标信号不变的同时也不会获得任何的噪声抑制
N>=2
利用多通道的数据，我们假设有空时预测矩阵作用如下

上式表示通道n的数据可以由通道m预测得到，显然，当n=m时，预测矩阵为单位矩阵，现在先假设这个预测矩阵已知，误差信号表示如下

重写带约束条件的目标函数如下

利用拉格朗日乘子法求得闭式解为

剩下的问题就是要估计这个其中的W了
根据加性噪声模型以及最小均方准则（MSE）可以求得最优矩阵为如下形式

噪声相关矩阵可以在无语音期间估计，如果声源没有移动，最优矩阵也只需要在有声段估计一次

测试
使用七阵元的麦克风阵列录音数据，录波器长度L = 64，对比降噪前后的时频图

参考
[1]: “A Minimum Distortion Noise Reduction Algorithm With Multiple Microphones” Jingdong Chen ICASSP2008