凸优化基础

1、计算几何是研究什么的？
2、计算几何理论中（或凸集中）过两点的一条直线的表达式，是如何描述的？与初中数学中那些直线方程有什么差异？有什么好处？
3、凸集是什么？ 直线是凸集吗？是仿射集吗？
4、什么是“凸函数”定义？什么是Hessen矩阵? 如何判别一个函数是凸函数？f(x)=x^3 函数是凸函数吗？
5、什么是“凸规划”？如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明？
6、三维空间中的一个平面，如何表达？
7、更高维度的“超平面”，如何表达？

一、计算几何

1、计算几何是研究什么的

计算几何研究的对象是几何图形。早期人们对于图像的研究一般都是先建立坐标系，把图形转换成函数，然后用插值和逼近的数学方法，特别是用样条函数作为工具来分析图形，取得了可喜的成功。然而，这些方法过多地依赖于坐标系的选取，缺乏几何不变性，特别是用来解决某些大挠度曲线及曲线的奇异点等问题时，有一定的局限性。

2、计算几何理论中过两点的一条直线的表达式，是如何描述的

假设两个点不相同:
$x_1 != x_2$x1​!=x2​
那么就有直线方程：
$y = θx_1 + (1−θ)x_2$y=θx1​+(1−θ)x2​

3、与初中数学中那些直线方程有什么差异？有什么好处？

计算几何与平面几何（初高中学习）的区别就是维度的不一样，计算几何在平面的基础上添加了角度的维度，这意味着计算的复杂性提高了，但是计算的结果更加的广泛，更加的精确，更容易全方位的表达一条直线。

二、凸集

1、凸集是什么

在凸几何中，凸集是在凸组合下闭合的仿射空间的子集。更具体地说，在欧氏空间中，凸集是对于集合内的每一对点，连接该对点的直线段上的每个点也在该集合内。例如，立方体是凸集，但是任何中空的或具有凹痕的例如月牙形都不是凸集。
特别的，凸集，实数R上（或复数C上）的向量空间中，如果集合S中任两点的连线上的点都在S内，则称集合S为凸集。

凸集的数学定义：

2、仿射集

仿射集亦称仿射流形、线性流形、仿射簇，是实线性空间中的一类子集。非空间射集 M 的维数定义为上述子空间 L 的维数。空集的维数定义为-1。维数分别为0、1，以及2的仿射集为点、直线和平面。$ℝ^n$Rn中n-1维点仿射集称为超平面。

3、凸函数

凸函数是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
对于一元函数f(xf(x)，如果对于任意tϵ[0,1]tϵ[0,1]均满足：f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为凸函数(convex function)
如果对于任意tϵ(0,1)tϵ(0,1)均满足：f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)f(tx1+(1−t)x2)<tf(x1)+(1−t)f(x2)，则称f(x)f(x)为严格凸函数(convex function)

凸函数的数学定义：

4、Hessen矩阵

黑塞矩阵（Hessian Matrix），又译作海森矩阵、海瑟矩阵、海塞矩阵等，是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵，描述了函数的局部曲率。黑塞矩阵最早于19世纪由德国数学家Ludwig Otto Hesse提出，并以其名字命名。黑塞矩阵常用于牛顿法解决优化问题，利用黑塞矩阵可判定多元函数的极值问题。在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数，此时函数在某点泰勒展开式的矩阵形式中会涉及到黑塞矩阵。
在工程实际问题的优化设计中，所列的目标函数往往很复杂，为了使问题简化，常常将目标函数在某点邻域展开成泰勒多项式来逼近原函数。

5、如何判别一个函数是凸函数

1).对于一元函数f(x)f(x)，我们可以通过其二阶导数f′′(x)f″(x) 的符号来判断。如果函数的二阶导数总是非负，即f′′(x)≥0f″(x)≥0 ，则f(x)f(x)是凸函数
2).对于多元函数f(X)f(X)，我们可以通过其Hessian矩阵（Hessian矩阵是由多元函数的二阶导数组成的方阵）的正定性来判断。如果Hessian矩阵是半正定矩阵，则是f(X)f(X)凸函数

6、$f(x)=x^3$f(x)=x3 函数是凸函数吗？

根据函数的定义可知，f(x)是一个一元函数，一元函数可以根据凸函数中一元函数的判定条件知道该函数时候是凸函数。

7、什么是“凸规划”

求优化问题§ min f(x),当D为凸集，且函数f(x)为凸函数，则称该规划为凸规划

8、如何判别一个规划问题是凸规划问题。举例说明

与一般的最优化问题标准形式相比，凸规划有三点附加条件：
（1）目标函数f(x)f(x)必须是凸函数；
（2）不等式约束函数gi(x)gi​(x)必须是凸函数，不等式gi(x)≤0gi​(x)≤0组成的区域为凸集；
（3）等式约束函数hj(x)=aTjx−bjhj​(x)=ajT​x−bj​必须是仿射的（即线性函数和常函数的和函数）。

三、平面

1、三维空间中的一个平面，如何表达？

三维空间中的平面由两个量确定：
① 一个法向量（垂直于该平面的向量）
② 一个已知点（位于该平面上的一个点）
平面方程：$Ax+By+Cz+D=0$Ax+By+Cz+D=0 (参数,A,B,C,D是描述平面空间特征的常数)
已知平面的法向量n和平面上一个已知点P的情况下，平面的方程
平面法向量为：n→=$(a,b,c)^T$(a,b,c)T
平面一个已知点：P=$(x0,y0,z0)^T$(x0,y0,z0)T
平面方程为：$ax+by+cz−(ax_0+by_0+cz_0)=0$ax+by+cz−(ax0​+by0​+cz0​)=0
平面方程的另外一种写法：$ax+by+cz+d=0$ax+by+cz+d=0，其中，$d=−(ax_0+by_0+cz_0)$d=−(ax0​+by0​+cz0​)
或者是：$ax+by+cz=d$ax+by+cz=d，其中，$d=(ax_0+by_0+cz_0)$d=(ax0​+by0​+cz0​)

2、更高维度的“超平面”，如何表达？

超平面是n为欧式空间中余维度等于1的线性子空间。n维空间F^n中的超平面是由方程 $a_1x_1$a1​x1​+…+$a_nx_n$an​xn​=b 定义的子集，其中 $a_1$a1​,…,$a_n$an​∈F 是不全为0的常数。
在线性代数的脉络下，F-矢量空间V 中的超平面是指形如：{v∈V:f(v)=0} 的子空间，其中 f:V →F 是任一非零的线性映射。
在射影几何中，同样可定义射影空间$P^n$Pn中的超平面。在齐次坐标 ($x_0$x0​:…:$x_n$xn​) 下，超平面可由以下方程定义：$a_0x_0$a0​x0​+…+$a_nx_n$an​xn​=0 其中$a_0$a0​,…,$a_n$an​ 是不全为零的常数。
超平面H是从n维空间到n-1维空间的一个映射子空间，它有一个n维向量和一个实数定义。设d是n维欧式空间R中的一个非零向量，a是实数，则R中满足条件dX=a的点X所组成的集合称为R中的一张超平面。

参考链接：https://blog.csdn.net/qq_42451251/article/details/105676633