《数学基础》-4.凸优化-4.1.无约束优化

4.1.无约束优化

4.1.1.无约束优化问题

无约束优化问题是机器学习中最普遍、最简单的优化问题。

求最大值也可以 在前面加上负号，变成上面求最小的形式。

求一个函数f(x)的最小值可以对函数f(x)求导并使其等于0(或者说使得梯度▽f(x)等于0)，但是很多复杂的函数求导后没法求出解，所以这种方法实际上很少用。

常用梯度下降法、牛顿法或者拟牛顿法求解。

4.1.2.梯度下降法

基于迭代的方法，从某个点开始找很多点，使得这些点满足：，且有，这里表示单位梯度，经常写作，λ表示步长，所以通项是：

实际上λ也不会取很大，一般是

其过程为：

  

梯度下降法的种类：

①批量梯度下降法（BGD）

更新系数时，所有样本都参与计算

优点：需要个很少的迭代次数就可以收敛

缺点：当样本量很大时，更新一次的时间很长

②随机梯度下降法（SGD）

更新系数时，从n个样本中随机选择一个样本参与计算，

优点：更新一次的时间很短，所以大样本时有优势

缺点：会受到每一个样本的影响会很大，不稳定，需要更多的迭代次数才能收敛

③小批量梯度下降法（MBGD）

结合了批量梯度下降法和随机梯度下降法，选择一小部分样本参与计算

例如：

所有的样本都算完，就是一个epoch

4.1.3.牛顿法

求一个函数的最小值可以对函数求导并使其等于0(或者说使得梯度等于0)：，把函数的导数看做一个函数，令

牛顿法求的过程也是迭代过程

假设的函数曲线是这个样子，要找到那个的点，先做某个的切线，然后找到切线与x轴相交的点然后再做的切线，以此类推，不断逼近的点。

先来求第一条切线的方程：

令y=0（就是上图中的点）得：

再把带入得：

这是二维的情况，如果是多维的情况：

其中H是海森矩阵，除以海森矩阵就是乘以它的逆矩阵。

为什么这里是海森矩阵？因为是的n维向量，是n维向量，二次求导就是海森矩阵。

在机器学习中，要算海森矩阵的逆矩阵很麻烦，于是就引申出了很多种拟牛顿法BFGS（用另外一个矩阵来逼近海森矩阵的逆矩阵）。

 

牛顿法收敛速度：

按这个迭代原理，就应该是函数的局部最优点，也就是有最小值，且有要弄明白这个收敛速度，就是要比较下到的距离和到的距离的区别，由上述结论得：

由于，所以分子加上得：

根据中值定理f(b)−f(a)=(b−a)f′(ξ),a<ξ<b，得：

再利用拉格朗日中值定理得：

ξ是在之间的，所以

由于M的分子分母都是导数，导数都是有界的，所以M是有界的，用表示其上界。

即：

当和的距离小于1：，则，这里是按照平方的速度进行收敛的，收敛速度更快，注意这里有条件：x和的距离小于1，如果距离大于1，上界会越来越大，没法收敛。

 

综上，牛顿法要拟合，不能离最小值太远的地方拟合，越接近极小值再拟合收敛的效果越好。因此可以先用梯度下降，到了局部极小值附近后再用牛顿法。