凸优化学习笔记 15：梯度方法

前面的章节基本上讲完了凸优化相关的理论部分，在对偶原理以及 KKT 条件那里我们已经体会到了理论之美！接下来我们就要进入求解算法的部分，这也是需要浓墨重彩的一部分，毕竟我们学习凸优化就是为了解决实际当中的优化问题。我们今天首先要接触的就是大名鼎鼎的梯度方法。现在人工智能和人工神经网络很火，经常可以听到反向传播，这实际上就是梯度下降方法的应用，他的思想其实很简单，就是沿着函数梯度的反方向走就会使函数值不断减小。
$x_{k+1}=x_{k}-t_k \nabla f(x_k),\quad k=0,1,...$xk+1​=xk​−tk​∇f(xk​),k=0,1,...
上面的式子看起来简单，但是真正应用时你会发现有各种问题：

1. 下降方向怎么选？$\nabla f(x_k)$∇f(xk​) 吗？选择其他方向会不会好一点呢？
2. 如果 $f(x)$f(x) (在某些点)不可导又怎么办呢？
3. 步长 $t_k$tk​ 怎么选呢？固定值？变化值？选多大比较好？
4. 收敛速度怎么样呢？我怎么才能知道是否达到精度要求呢？
5. …

1. 凸函数

前面讲凸函数的时候我们提到了很多等价定义：Jensen’s 不等式、“降维打击”、一阶条件、二阶条件。这里我们主要关注其中两个：

1. Jensen’s 不等式：$f(\theta x+(1-\theta) y) \leq \theta f(x)+(1-\theta) f(y)$f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)
2. 一阶条件等价于梯度单调性：$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \geq 0 \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≥0 for all x,y∈domf

也就是说凸函数的梯度 $\nabla f: R^n\to R^n$∇f:Rn→Rn 是一个单调映射。

2. Lipschitz continuity

函数 $f$f 的梯度满足**利普希茨连续(Lipschitz continuous)**的定义为
$\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{*} \leq L\|x-y\| \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$∥∇f(x)−∇f(y)∥∗​≤L∥x−y∥ for all x,y∈domf
也被称为 L-smooth。有了这个条件，我们可以推出很多个等价性质，这里省略了证明过程

也就是说下面的式子都是等价的
$\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{*} \leq L\|x-y\| \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$∥∇f(x)−∇f(y)∥∗​≤L∥x−y∥ for all x,y∈domf

$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \leq L\|x-y\|^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≤L∥x−y∥2 for all x,y∈domf

$f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+\frac{L}{2}\|y-x\|^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$f(y)≤f(x)+∇f(x)T(y−x)+2L​∥y−x∥2 for all x,y∈domf

$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{*}^{2} \quad \text { for all } x, y$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≥L1​∥∇f(x)−∇f(y)∥∗2​ for all x,y

$g(x)=\frac{L}{2}\Vert x\Vert_2^2-f(x) \ \text{ is convex}$g(x)=2L​∥x∥22​−f(x)  is convex

Remarks 1：

上面的第 3 个式子
$f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+\frac{L}{2}\Vert y-x\Vert^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$f(y)≤f(x)+∇f(x)T(y−x)+2L​∥y−x∥2 for all x,y∈domf
实际上定义了一个二次曲线，这个曲线是原始函数的 Quadratic upper bound

并且由这个式子可以推导出
$\frac{1}{2 L}\Vert\nabla f(z)\Vert_{*}^{2} \leq f(z)-f\left(x^{\star}\right) \leq \frac{L}{2}\left\Vert z-x^{\star}\right\Vert^{2} \quad \text { for all } z$2L1​∥∇f(z)∥∗2​≤f(z)−f(x⋆)≤2L​∥z−x⋆∥2 for all z
这个式子中的上界 $\frac{L}{2}\left\|z-x^{\star}\right\|^{2}$2L​∥z−x⋆∥2 带有 $x^\star$x⋆ 是未知的，而下界只与当前值 $z$z 有关，因此在优化过程中我们可以判断当前的 $f(z)$f(z) 与最优值的距离至少为 $\frac{1}{2 L}\|\nabla f(z)\|_{*}^{2}$2L1​∥∇f(z)∥∗2​，如果这个值大于0，那么我们一定还没得到最优解。

Remarks 2：

上面的最后一个式子
$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{*}^{2} \quad \text { for all } x, y$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≥L1​∥∇f(x)−∇f(y)∥∗2​ for all x,y
被称为 $\nabla f$∇f 的 co-coercivity 性质。（这其实有点像 $\nabla f$∇f 的反函数的 L-smooth 性质，所以它跟 $\nabla f$∇f 的 L-smooth 性质是等价的）

3. 强凸函数

满足如下性质的函数被称为 **m-强凸(m-strongly convex)**的
$f(\theta x+(1-\theta) y) \leq \theta f(x)+(1-\theta) f(y)-\frac{m}{2} \theta(1-\theta)\|x-y\|^{2} \quad \text { for all } x, y\in\text{dom}f,\theta\in[0,1]$f(θx+(1−θ)y)≤θf(x)+(1−θ)f(y)−2m​θ(1−θ)∥x−y∥2 for all x,y∈domf,θ∈[0,1]
m-强凸跟前面的 L-smooth 实际上非常像，只不过一个定义了上界，另一个定义了下界。

类似上面的 L-smooth 性质，我们课可以得到下面几个式子是等价的
$f \text{ is m-strongly convex}$f is m-strongly convex

$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \geq m\|x-y\|^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≥m∥x−y∥2 for all x,y∈domf

$f(y) \geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+\frac{m}{2}\|y-x\|^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x)+2m​∥y−x∥2 for all x,y∈domf

$g(x) = f(x)-\frac{m}{2}\Vert x\Vert^2 \ \text{ is convex}$g(x)=f(x)−2m​∥x∥2  is convex

注意上面第3个式子不等号右遍实际上又定义了一个二次曲线，这个二次曲线是原函数的下界。与前面的二次上界类比可以得到

Quadratic lower bound	Quadratic upper bound
$f(y) \geq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+\frac{m}{2}\Vert y-x\Vert^{2}$f(y)≥f(x)+∇f(x)T(y−x)+2m​∥y−x∥2	$f(y) \leq f(x)+\nabla f(x)^{T}(y-x)+\frac{L}{2}\Vert y-x\Vert^{2}$f(y)≤f(x)+∇f(x)T(y−x)+2L​∥y−x∥2
$\Longrightarrow \frac{m}{2}\left\Vert z-x^{\star}\right\Vert^{2} \leq f(z)-f\left(x^{\star}\right) \leq \frac{1}{2 m}\Vert\nabla f(z)\Vert_{*}^{2}$⟹2m​∥z−x⋆∥2≤f(z)−f(x⋆)≤2m1​∥∇f(z)∥∗2​	$\Longrightarrow \frac{1}{2 L}\Vert\nabla f(z)\Vert_{*}^{2} \leq f(z)-f\left(x^{\star}\right) \leq \frac{L}{2}\left\Vert z-x^{\star}\right\Vert^{2}$⟹2L1​∥∇f(z)∥∗2​≤f(z)−f(x⋆)≤2L​∥z−x⋆∥2

例子：如果函数 $f$f 既是 m-强凸的，又是(关于2范数) L-smooth 的，那么

1. 函数 $h(x)=f(x)-\frac{m}{2}\Vert x\Vert^2$h(x)=f(x)−2m​∥x∥2 是 (L-m)-smooth 的
2. 函数 $h$h 的 co-coercivity 可以写为

$(\nabla f(x)-\nabla f(y))^{T}(x-y) \geq \frac{m L}{m+L}\|x-y\|_{2}^{2}+\frac{1}{m+L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|_{2}^{2} \quad \text { for all } x, y \in \operatorname{dom} f$(∇f(x)−∇f(y))T(x−y)≥m+LmL​∥x−y∥22​+m+L1​∥∇f(x)−∇f(y)∥22​ for all x,y∈domf

4. 梯度方法收敛性分析

下面给出一些常见梯度下降方法的分析。先回顾一下梯度方法的一般表达式
$x_{k+1}=x_{k}-t_k \nabla f(x_k)$xk+1​=xk​−tk​∇f(xk​)
首先有一些假设

1. $f$f convex 且可导，$\text{dom}f=R^n$domf=Rn
2. $\nabla f$∇f 关于2范数 L-Lipschitz continuous
3. 最优解有限且可取

4.1 固定步长

固定步长为 $t$t，则 $x^+=x-t\nabla f(x)$x+=x−t∇f(x)，根据 L-smooth 性质有
$f(x-t \nabla f(x)) \leq f(x)-t\left(1-\frac{L t}{2}\right)\|\nabla f(x)\|_{2}^{2}$f(x−t∇f(x))≤f(x)−t(1−2Lt​)∥∇f(x)∥22​
如果 $0 < t \leq 1/L$0<t≤1/L，则有
$f\left(x^{+}\right) \leq f(x)-\frac{t}{2}\|\nabla f(x)\|_{2}^{2}$f(x+)≤f(x)−2t​∥∇f(x)∥22​
这表明(只要步长 $t$t 比较小)函数值总是在不断减小的。从上面的式子结合凸函数性质我们还可以得到
$\begin{aligned} f\left(x^{+}\right)-f^{\star} & \leq \nabla f(x)^{T}\left(x-x^{\star}\right)-\frac{t}{2}\|\nabla f(x)\|_{2}^{2} \\ &=\frac{1}{2 t}\left(\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x-x^{\star}-t \nabla f(x)\right\|_{2}^{2}\right) \\ &=\frac{1}{2 t}\left(\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x^{+}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}\right) \end{aligned}$f(x+)−f⋆​≤∇f(x)T(x−x⋆)−2t​∥∇f(x)∥22​=2t1​(∥x−x⋆∥22​−∥x−x⋆−t∇f(x)∥22​)=2t1​(∥x−x⋆∥22​−∥∥​x+−x⋆∥∥​22​)​
从这个式子可以得到我们到最优点 $x^\star$x⋆ 的距离在不断减小。那么可以得到下面的式子
$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{k}\left(f\left(x_{i}\right)-f^{\star}\right) & \leq \frac{1}{2 t} \sum_{i=1}^{k}\left(\left\|x_{i-1}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x_{i}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}\right) \\ &=\frac{1}{2 t}\left(\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x_{k}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}\right) \\ & \leq \frac{1}{2 t}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \end{aligned} \\ \Longrightarrow f(x_k)-f^\star\leq\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\left(f\left(x_{i}\right)-f^{\star}\right) \leq \frac{1}{2 kt}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}$i=1∑k​(f(xi​)−f⋆)​≤2t1​i=1∑k​(∥xi−1​−x⋆∥22​−∥xi​−x⋆∥22​)=2t1​(∥x0​−x⋆∥22​−∥xk​−x⋆∥22​)≤2t1​∥x0​−x⋆∥22​​⟹f(xk​)−f⋆≤k1​i=1∑k​(f(xi​)−f⋆)≤2kt1​∥x0​−x⋆∥22​
因此普通的固定步长的梯度下降有以下收敛性质

1. $f(x_{k+1}) < f(x_k)$f(xk+1​)<f(xk​)
2. $\Vert x_{k+1}-x^\star\Vert < \Vert x_{k}-x^\star\Vert$∥xk+1​−x⋆∥<∥xk​−x⋆∥
3. $f(x_k)-f^\star\leq \frac{1}{2 kt}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}$f(xk​)−f⋆≤2kt1​∥x0​−x⋆∥22​，要想满足精度 $f(x_k)-f^\star \leq \epsilon$f(xk​)−f⋆≤ϵ 需要的迭代次数为 $O(1/\epsilon)$O(1/ϵ)

4.2 线搜索

线搜索就是每步都要计算合适的步长，计算方法为不断地迭代 $t_k:=\beta t_k,0<\beta<1$tk​:=βtk​,0<β<1 直到 $t_k$tk​ 满足下面的条件
$f\left(x_{k}-t_{k} \nabla f\left(x_{k}\right)\right)<f\left(x_{k}\right)-\alpha t_{k}\left\|\nabla f\left(x_{k}\right)\right\|_{2}^{2}$f(xk​−tk​∇f(xk​))<f(xk​)−αtk​∥∇f(xk​)∥22​
形象理解就是下面这幅图，一开始我们的 $t_k$tk​ 可能很大，表示梯度下降的步长过大，不能使函数值减小，那我们就减小步长 $t_k=\beta t_k$tk​=βtk​，直到进入绿线与蓝线交点左侧这部分，我们就可以保证一定有 $f(x_{k+1})<f(x_k)$f(xk+1​)<f(xk​)，这时就是我们要取的 $t_k$tk​，这也是线搜索的含义，线搜索实际上就是在搜索合适的步长 $t_k$tk​。

主要到上面的式子中有一个参数 $\alpha$α 会影响我们的搜索结果，比如上图中 $\alpha$α 越大，则绿线的斜率越大，那么最终搜索到的 $t_k$tk​ 应该就越小，表示我们每一步的步长都会更小。实际中往往取 $\alpha=1/2$α=1/2，此时理想的搜索结果实际上就是 quadratic upper bound 的最小值点。也就是说我们用二次上界曲线来近似待优化的函数，而二次上界的最小值点对应的步长就是 $t=1/L$t=1/L，但由于我们是线搜索，实际得到的 $t_k$tk​ 一般会比这个值略小一点。

另一方面为了保证线搜索在有限步能够终止，还需要满足 $t_k\ge t_{min} =\min\{\hat{t},\beta/L\}$tk​≥tmin​=min{t^,β/L}，其中 $\hat{t}$t^ 是预先指定的一个参数。

那么线搜索的收敛性怎么样呢？首先根据线搜索的定义一定有
$\begin{aligned} f\left(x_{i+1}\right) & \leq f\left(x_{i}\right)-\frac{t_{i}}{2}\left\|\nabla f\left(x_{i}\right)\right\|_{2}^{2} \\ & \leq f^{\star}+\nabla f\left(x_{i}\right)^{T}\left(x_{i}-x^{\star}\right)-\frac{t_{i}}{2}\left\|\nabla f\left(x_{i}\right)\right\|_{2}^{2} \\ &=f^{\star}+\frac{1}{2 t_{i}}\left(\left\|x_{i}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x_{i+1}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}\right) \end{aligned}$f(xi+1​)​≤f(xi​)−2ti​​∥∇f(xi​)∥22​≤f⋆+∇f(xi​)T(xi​−x⋆)−2ti​​∥∇f(xi​)∥22​=f⋆+2ti​1​(∥xi​−x⋆∥22​−∥xi+1​−x⋆∥22​)​
这表明 $f(x_{i+1})<f(x_i),\left\|x_{i}-x^{\star}\right\|_{2}>\left\|x_{i+1}-x^{\star}\right\|_{2}$f(xi+1​)<f(xi​),∥xi​−x⋆∥2​>∥xi+1​−x⋆∥2​，类似前面固定步长的分析，可以得到
$f(x_k)-f^\star\leq\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}\left(f\left(x_{i}\right)-f^{\star}\right) \leq \frac{1}{2 kt_{min}}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}$f(xk​)−f⋆≤k1​i=1∑k​(f(xi​)−f⋆)≤2ktmin​1​∥x0​−x⋆∥22​
因此对于线搜索的方法，我们可以得到如下的收敛性质

1. $f(x_{i+1})<f(x_i)$f(xi+1​)<f(xi​)
2. $\left\|x_{i}-x^{\star}\right\|_{2}>\left\|x_{i+1}-x^{\star}\right\|_{2}$∥xi​−x⋆∥2​>∥xi+1​−x⋆∥2​
3. $f(x_k)-f^\star\leq \frac{1}{2 kt_{min}}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}$f(xk​)−f⋆≤2ktmin​1​∥x0​−x⋆∥22​

所以线搜索实际上并不能提高收敛速度的阶，他与固定步长的方法都是 $O(1/k)$O(1/k) 的，为 sublinear 收敛。

4.3 一阶方法的收敛极限

不管是固定步长还是线搜索，前面的方法都是一阶方法，即
$x_{k+1}\in x_{0}+\operatorname{span}\left\{\nabla f\left(x_{0}\right), \nabla f\left(x_{1}\right), \ldots, \nabla f\left(x_{k}\right)\right\}$xk+1​∈x0​+span{∇f(x0​),∇f(x1​),…,∇f(xk​)}
而理论上也证明一阶方法的收敛速度存在极限。

定理(Nesterov)： for every integer $k ≤ (n−1)/2$k≤(n−1)/2 and every $x_0$x0​, there exist functions in the problem class such that for any first-order method
$f\left(x_{k}\right)-f^{\star} \geq \frac{3}{32} \frac{L\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}}{(k+1)^{2}}$f(xk​)−f⋆≥323​(k+1)2L∥x0​−x⋆∥22​​
也就是说收敛速度最多也就是 $O(1/k^2)$O(1/k2)。

4.4 强凸函数的梯度方法

对于强凸函数，即使采用固定步长的梯度方法，也可以得到线性收敛速度！这就是强凸性带来的好处。

考虑 $0<t<2/(m+L)$0<t<2/(m+L)，我们有
$\begin{aligned} \left\|x^{+}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} &=\left\|x-t \nabla f(x)-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \\ &=\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-2 t \nabla f(x)^{T}\left(x-x^{\star}\right)+t^{2}\|\nabla f(x)\|_{2}^{2} \\ & \leq\left(1-t \frac{2 m L}{m+L}\right)\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}+t\left(t-\frac{2}{m+L}\right)\|\nabla f(x)\|_{2}^{2} \\ & \leq\left(1-t \frac{2 m L}{m+L}\right)\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \end{aligned}$∥∥​x+−x⋆∥∥​22​​=∥x−t∇f(x)−x⋆∥22​=∥x−x⋆∥22​−2t∇f(x)T(x−x⋆)+t2∥∇f(x)∥22​≤(1−tm+L2mL​)∥x−x⋆∥22​+t(t−m+L2​)∥∇f(x)∥22​≤(1−tm+L2mL​)∥x−x⋆∥22​​
也就是说可以得到
$\left\|x_{k}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \leq c^{k}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}, \quad c=1-t \frac{2 m L}{m+L} \\ f\left(x_{k}\right)-f^{\star} \leq \frac{L}{2}\left\|x_{k}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \leq \frac{c^{k} L}{2}\left\|x_{0}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}$∥xk​−x⋆∥22​≤ck∥x0​−x⋆∥22​,c=1−tm+L2mL​f(xk​)−f⋆≤2L​∥xk​−x⋆∥22​≤2ckL​∥x0​−x⋆∥22​
注意到前面是反比例下降，这里变成了指数下降。如果要打到精度 $f(x_k)-f^\star \leq \epsilon$f(xk​)−f⋆≤ϵ 需要的迭代次数为 $O(\log(1/\epsilon))$O(log(1/ϵ))

5. BB 方法

Barzilai-Borwein (BB) method 也是梯度下降方法的一种，他主要是通过近似牛顿方法来实现更快的收敛速度，同时避免计算二阶导数带来的计算复杂度。

如果我们记 $\boldsymbol{g}^{(k)}=\nabla f\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right) \text { and } \boldsymbol{F}^{(k)}=\nabla^{2} f\left(\boldsymbol{x}^{(k)}\right)$g(k)=∇f(x(k)) and F(k)=∇2f(x(k))，那么一阶方法就是 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{x}^{(k)}-\alpha_{k} \boldsymbol{g}^{(k)}$x(k+1)=x(k)−αk​g(k)，其中步长 $\alpha_k$αk​ 可以是固定的，也可以是线搜索获得的，一阶方法简单但是收敛速度慢。牛顿方法就是 $\boldsymbol{x}^{(k+1)}=\boldsymbol{x}^{(k)}-\left(\boldsymbol{F}^{(k)}\right)^{-1} \boldsymbol{g}^{(k)}$x(k+1)=x(k)−(F(k))−1g(k)，其收敛速度更快，但是海森矩阵计算代价较大。而 BB方法就是用 $\alpha_{k} \boldsymbol{g}^{(k)}$αk​g(k) 来近似 $\left(\boldsymbol{F}^{(k)}\right)^{-1} \boldsymbol{g}^{(k)}$(F(k))−1g(k)。

怎么近似呢？假如定义 $s^{(k-1)}:=x^{(k)}-x^{(k-1)} \text { and } y^{(k-1)}:=g^{(k)}-g^{(k-1)}$s(k−1):=x(k)−x(k−1) and y(k−1):=g(k)−g(k−1)，那么海森矩阵实际上就是
$\boldsymbol{F}^{(k)}s^{(k-1)}=y^{(k-1)}$F(k)s(k−1)=y(k−1)
现在的想法就是用 $(\alpha_k I)^{-1}$(αk​I)−1 来近似 $\boldsymbol{F}^{(k)}$F(k)，那么应该有
$(\alpha_k I)^{-1}s^{(k-1)}=y^{(k-1)}$(αk​I)−1s(k−1)=y(k−1)
这个问题用最小二乘就可以解决了，下面两种选择都可以
$\alpha_{k}^{-1}=\underset{\beta}{\arg \min } \frac{1}{2}\left\|s^{(k-1)} \beta-\boldsymbol{y}^{(k-1)}\right\|^{2} \Longrightarrow \alpha_{k}^{1}=\frac{\left(s^{(k-1)}\right)^{T} s^{(k-1)}}{\left(s^{(k-1)}\right)^{T} \boldsymbol{y}^{(k-1)}} \\\alpha_{k}=\underset{\alpha}{\arg \min } \frac{1}{2}\left\|s^{(k-1)}-\boldsymbol{y}^{(k-1)} \alpha\right\|^{2} \Longrightarrow \alpha_{k}^{2}=\frac{\left(\boldsymbol{s}^{(k-1)}\right)^{T} \boldsymbol{y}^{(k-1)}}{\left(\boldsymbol{y}^{(k-1)}\right)^{T} \boldsymbol{y}^{(k-1)}}$αk−1​=βargmin​21​∥∥∥​s(k−1)β−y(k−1)∥∥∥​2⟹αk1​=(s(k−1))Ty(k−1)(s(k−1))Ts(k−1)​αk​=αargmin​21​∥∥∥​s(k−1)−y(k−1)α∥∥∥​2⟹αk2​=(y(k−1))Ty(k−1)(s(k−1))Ty(k−1)​
这两个解有一个微妙的不同点在于 $\alpha_k^1$αk1​ 的分母 $\left(s^{(k-1)}\right)^{T} \boldsymbol{y}^{(k-1)}$(s(k−1))Ty(k−1) 有可能等于 0，这会给计算带来麻烦，而 $\alpha_k^2$αk2​ 则不会。

BB方法主要有以下几个特点：

1. 几乎不需要额外的计算量，但是往往会带来极大的性能增益；
2. 实际应用中这两个表达式用哪个都可以，甚至还可以交换使用，用哪个更好一般与具体的问题有关；
3. 收敛性很难证明，没有收敛性的保证。比如下面的例子，他甚至不是单调下降的。

> 最后给我的博客打个广告，欢迎光临

https://glooow1024.github.io/
https://glooow.gitee.io/

前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
凸优化学习笔记 3：广义不等式
凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
凸优化学习笔记 6：共轭函数
凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
凸优化学习笔记 9：广义凸函数
凸优化学习笔记 10：凸优化问题
凸优化学习笔记 11：对偶原理
凸优化学习笔记 12：KKT条件
凸优化学习笔记 13：KKT条件 & 互补性条件 & 强对偶性
凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
凸优化学习笔记 15：梯度方法