Hamilton 与 JPL 四元数表达方式

四元数的表示方法

四元数的表示方法有很多种，这里有四个最基本的选项：

（1）实部的位置

实部是放在第一位还是放在最后一位

（2）虚部定义

四元数虚部的定义

这一项对应于是选择左手系还是选择右手系。选择左右手系的意义是，给定一个旋转轴u，以及旋转角度$\theta$θ，如果是右手系，那么$q_{right}\{u\theta\}$qright​{uθ}表示采用右手规则旋转的四元数，同时$q_{left}\{u\theta\}$qleft​{uθ}表示采用左手规则旋转的四元数。

（3）旋转操作符

旋转操作符表示的是旋转坐标系还是旋转向量

（4）旋转坐标系时的转换方向——global-to-local or local-to-global

关于global和local分别指什么，下面会提。

从以上的这些选项中我们可以得到12中不同的表示方式，但是由于某些历史的原因，组中保留下来的并在使用的表示方法有Hamilton、STS、JPL、ISS以及ESA。许多工作并没有明确地说明他们使用了那种表示方法，因此往往容易让人迷惑。
不同的表示方法之间是不兼容的。其中最常用到的两种方法分别是Hamilton和JPL，这两种方法的特性总结在下表中：

JPL在航空领域用的更多一些，而Hamilton在其他工程领域用的更多，比如机器人，但是这也不是绝对的。诸如Eigen,ROS,Google Ceres以及许多由于Kalman滤波中采用到了IMU进行位姿估计的文献中都采用了Hamilton表示方法。而JPL表示方法在的应用相对较少一些，至少在机器人领域是这样。

Hamilton和JPL的比较

我们根据上文中提到的四个基本选项分别对Hamilton和JPL进行比较

（1）实部的位置

Hamilton和JPL最显著的一个区别就是实部的位置，Hamilton的实部位置在前，而JPL的实部位置在后。但是在实际上，一些工作虽然采用了Hamilton的表示方法但是依旧把实部放在了四元数的最后边，比如Eigen。

（2）虚部定义

Hamilton的虚部定义如下：

JPL的虚部定义如下：

有趣的是，这些微小的变化保留了四元数乘法的基本性质，但是在数学上，最明显的结果就是导致了如下乘法公式中叉积项之前的符号的改变：

上式为Hamilton表示法下的四元数相乘表达式。
JPL形式下需要将叉乘前的符号变为负号。

（3）旋转操作符

在进行旋转操作的时候，我们可以直接将向量进行旋转，我们称之为主动式(active)

另外一种方法是考虑向量不动，而旋转坐标系，我们称之为被动式(passive)。

其中，$\mathcal{A}$A和$\mathcal{B}$B分别是两个不同的直接坐标系，$x_\mathcal{A}，$xA​，$x_\mathcal{B}$xB​分别是向量x在不同坐标系下的表示。主动式和被动式之间的转化方法为：

Hamilton和JPL都使用被动式旋转。

（4）旋转坐标系时的转换方向——global-to-local or local-to-global

给定两个直角坐标系$\mathcal{G}，\mathcal{L}$G，L，我们将两个坐标系分别定义为全局坐标系和局部坐标系。（也可以称为世界坐标系和体坐标系）全局和局部的定义是相对的，也就是说全局是相对于局而言的，反之亦然。我们定义$q_\mathcal{L}^\mathcal{G}$qLG​，是从局部坐标系转换到全局坐标系的四元数：

Hamilton采用local-to-gobal的表示方法作为其默认的四元数表示法，然而JPL采用global-to-local作为其默认的表示方法：

其中有关于$q_{JPL}$qJPL​与$q_{Hamilton}$qHamilton​的转化可能没有那么重要，但是值得说明的一点是，我们不能简单地将两种表示方法划等号。在一些文献中如果没有明显地说明采用的是那种表示方法，非常有可能让我们产生困惑，因为两种表示方法代表了两个不同的转化方向。

参考文献
《Quaternion kinematics for the error-state Kalman filter》