矩阵的SVD分解（理论到计算结果）

SVD（Singular Value Decomposition）,矩阵的奇异值分解。分解方法如下：

若A是m*n的矩阵，则可以分解为，（此式子就是奇异值分解）其中U=m*m，=m*n，V=n*n。

1. V是的特征向量进行标准化后的结果，故V是标准正交矩阵。
2. U是标准正交矩阵。（是的特征向量进行标准化后的结果？？？）
3. 是奇异值矩阵。（是m*n的非负实数对角矩阵，并且对角线上的元素是A的奇异值。一般我们的习惯是将这些奇异值按照从大到小的顺序排列，即是由A唯一确定了）

什么样的矩阵可以进行SVD分解？

任何矩阵均有SVD分解。

什么是奇异值？

假设A是一个m*n的矩阵，则是一个n*n的方阵，且是个对陈矩阵。

假设：的特征值为，......，，特征向量为，......,。

1. 则的特征值全部非负。即。
2. ，称为A的奇异值。即A的奇异值为的特征值开根号后的结果。
3. 是向量A的长度。

矩阵的SVD分解计算过程：

如下有一个A矩阵：

  

（以一个简单的矩阵来计算推导）

特征值分解和奇异值分解不同之处？

      首先，特征值只能作用在一个mm的正方矩阵上，而奇异值分解则可以作用在一个mn的长方矩阵上。其次，奇异值分解同时包含了旋转、缩放和投影三种作用，式中，U和V都起到了对A旋转的作用，而Σ起到了对A缩放的作用。特征值分解只有缩放的效果。

参考：https://blog.csdn.net/qq_40438165/article/details/102879986

https://blog.csdn.net/u014157109/article/details/93141506