介绍部分常用的基础数学知识(持续更新…)。
一、前言
泰勒级数、矩阵指数函数、向量的斜对称矩阵、向量叉乘是在机器人控制中常用的基本数学知识,本文对这些知识做一个汇总,为将来的机器人研究做铺垫。为了能正常浏览公式,推荐使用Chrome浏览器,并添加一款名为TeX All the Things
的插件。在Markdown文本中编写公式的语法参见如下链接:
Markdown文本中编辑数学公式的语法规则
通过上述语法规则所编写的大部分公式可以通过浏览器正常观看,但是矩阵除外。为了能正确显示矩阵,可以通过在线LaTeX公式编辑器(链接如下)将公式转为.png(建议分辨率为120),再插入文中。
在线LaTeX公式编辑器
二、矩阵指数函数及泰勒级数
常用的矩阵指数函数如下所示。
eAAAt=k=0∑∞k!AAAktk=III+AAAt+2!(AAAt)2+3!(AAAt)3+⋯(2-1)
sinAAAt=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kAAA2k+1t2k+1(2-2)
cosAAAt=k=0∑∞(2k)!(−1)kAAA2kt2k(2-3)
正弦、余弦函数的泰勒级数展开如式(2-4)~(2-5)所示。
sinx=k=0∑∞(2k+1)!(−1)kx2k+1(2-4)
cosx=k=0∑∞(2k)!(−1)kx2k(2-5)
三、一阶线性微分方程的解法
给出一个一阶线性微分方程:
y˙(t)=xy(t)(3-1)
即:
dtdy(t)=xy(t)(3-2)
将式(3-2)变形,可得:
y(t)1dy(t)=xdt(3-3)
对上式两边进行积分:
∫y(t)1dy(t)=∫xdt(3-4)
即:
lny(t)=xt+C(3-5)
上式中,C是常数,对上式两边取指数,有:
y(t)=exty(0)(3-6)
式(3-6)中,y(0)表示y(t)在零时刻的取值。
四、斜对称矩阵的定义及性质
定义向量 ωωω=[ω1ω2ω3]T 及其斜对称矩阵(又称为反对称矩阵) ω^ω^ω^ 为:
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斜对称矩阵的性质如下:
ω^ω^ω^T=−ω^ω^ω^(4-2)
AAAω^ω^ω^AAAT=(AAAω^ω^ω^T)(4-3)
ω^ω^ω^2=ωωωωωωT−∥ωωω∥2III(4-4)
ω^ω^ω^3=−∥ωωω∥2AAAω^ω^ω^(4-5)
五、向量的叉乘
向量的叉乘,又称为向量积。
1.向量积的模长
两个平面向量aaa、bbb的叉乘记为aaa×bbb,模长的计算方法如下:
∣aaa×bbb∣=∣aaa∣⋅∣bbb∣⋅sinθ(5-1)
2.向量积的方向
方向为:向量积的方向与这两个向量所在平面垂直,且遵守右手定则。(一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的:若坐标系是满足右手定则的,当右手的四指从 aaa 以不超过180度的转角转向 bbb 时,竖起的大拇指指向是叉乘的方向。)
![2019-10-23-常用的数学基础知识集锦 2019-10-23-常用的数学基础知识集锦](/default/index/img?u=aHR0cHM6Ly9waWFuc2hlbi5jb20vaW1hZ2VzLzM1NC83YmUzODBjNjU3MTk1Mjc5NzY1MDAxMjhhZWY3MWE1Mi5wbmc=)
在上图中,aaa×bbb 的方向是垂直指向屏幕外侧。
3.向量积的物理意义
物理意义:向量的叉乘常用来表示平行四边形的面积。从上图可以看出:aaa×bbb 表示的是平行四边形面积,aaa×ccc 表示的是矩形面积,显然有:
aaa×bbb=aaa×ccc(5-2)
这意味着,aaa 与任意以 aaa 所在直线上一点为起点、以 bbb 的终点为终点的向量进行叉乘,得到的结果都是一样的。
4.向量积与斜对称矩阵
将二维平面内的向量拓展到三维空间,若aaa=[a1a2a3]T与bbb=[b1b2b3]T进行叉乘,则有如下结果:
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上式建立起了向量叉乘与向量斜对称矩阵之间的联系。