（七）线性回归

假定一个银行贷款系统 根据 工资 和年龄 这两个特征，预测核定应给客户多少额度的贷款（label为具体的值），银行所要预测的是个具体值，这就是所谓的回归问题。之前所说的决策树就是分类问题

样本	工资 x1$x_1$	年龄 x2$x_2$	可贷款额度 hθ(x)$h_{\theta }(x)$
1	3000	22	19000
2	8000	31	70000
3	5000	29	34000
4	7500	35	51000
5	12000	40	84000

• 其中x1$x_1$ 与 x2$x_2$ 分别有多大影响，此时我们就需要定义一组权重参数 θ1${\theta }_1$ , θ2${\theta }_2$,依此俩个参数来判别 x1$x_1$ 与 x2$x_2$ 各自的影响有多大，此处将假定一个 特征x0$x_0$ = 1 ，对于每个实例来说都是1，此时 θ0x0=θ0${\theta }_0{x}_0={\theta }_0$

• 其中 hθ(x)$h_{\theta }(x)$ 就是这个例子要预测的贷款额度，由此可将如上线性回归式子转化为如下式子

• 将该回归方程化简为一个列向量θ$\theta$的转置 乘以 一个列向量 x ,即一个行向量乘以一个列向量乘积，得到一个具体的值，由此得出hθ(x)$h_{\theta }(x)$

线性回归误差原理推到

• 没有什么是尽善尽美的，包括hθ(x)$h_{\theta }(x)$，只有此时此刻的你努力的将其误差降到最低

• 此时，根据计算出的预测值θTx(i)${\theta }^T{x}^{(i)}$ 与真实值 y(i)$y^{(i)}$值间的误差 ϵ(i)${ϵ}^{(i)}$

• 对于误差，不可能都是正数也不可能都是负数，这个模型的泛化能力要是正常的，既符合实际的逻辑，独立并且具有相同的分布（即独立同分布），通常认为服从均值为0，方差为θ2${\theta }^2$的高斯分布（正态分布）

• 独立：每一个样本是独立的，张三能贷到8万，李四能贷到10万，这二者是独立不影响的

• 同分布:即不可能出现，都少贷你一万，或者都多贷你一万，即服从正态分布，也就是说离均值近的实例多，离均值圆的实例少 ，也就保证了绝大多数人被预测可贷的额度不至于那么离谱，在一个可控可接受范围之间的。如下 类似贫富
  

• 服从均值 为 0 ，说 等于0 过于理想 ，应该说测试样本最小值 ，也就是说在如下的二维特征分布图，这些离散分布的特征点中找到一条拟合直线，让分布其周围的离散点到到其最短距离的和的均值最小。这与如何找到这条最佳拟合线呢，这里给出一种方法，调节θ0x0${\theta }_0{x}_0$
  

假定误差ϵ(i)${ϵ}^{(i)}$服从高斯分布公式如下，假设均值服从为0 即 如下 中的 μ=0$\mu =0$，

• 此时将
  y(i)=θTx(i)+ϵ(i)$$y^{(i)}={\theta }^T{x}^{(i)}+{ϵ}^{(i)}$$
  变换 得到
  ϵ(i)=y(i)−θTx(i)(2)$$\begin{array}{}\text{(2)}& {ϵ}^{(i)}=y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}\end{array}$$
• ， 并且将（2）代入上面的误差高斯分布表达式（1），得到如下公式

• 其中 p(y(i)|x(i);θ)$p(y^{(i)}|x^{(i)};\theta )$ 的意思是，找什么样的参数 θ$\theta$ 能够使的 θ$\theta$ 与 x(i)$x^{(i)}$组合后 越接近于 y(i)$y^{(i)}$的概率 值p 是越大

• 由此需要似然函数 如下
  

  L(θ)=∏i=1mpi(y(i)|x(i);θ)=∏i=1m12π−−√σe(−(y(i)−θTx(i))22σ2)$$L(\theta )=\prod _{i=1}^m{p}_i(y^{(i)}|x^{(i)};\theta )=\prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e(-\frac{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2})$$

• 对于所有的样本来说 ，即 将p1, p2, p3, p4累乘在一起，即 θ$\theta$要跟所有的样本进行组合，是的L(θ)$L(\theta )$最大
  ，也就是真实值y(i)$y^{(i)}$ 与 预测值 θTx(i)${\theta }^T{x}^{(i)}$相等的概率最大，所以希望 得到一个\theta 使得L(\theta)的整体值是最大

• 累乘求极值难度很大，所以需要 乘法转成加法 ，故 用log求解
  

  ι(θ)=logL(θ)=log∏i=1m12π−−√σe(−(y(i)−θTx(i))22σ2)=∑i=1mlog12π−−√σe(−(y(i)−θTx(i))22σ2)=mlog12π−−√σ−1σ212∑i=1m(y(i)−θTx(i))2(3)(4)(5)(6)$$\begin{array}{}\text{(3)}& \iota (\theta )& =logL(\theta )\text{(4)}& & =log\prod _{i=1}^m\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e(-\frac{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2})\text{(5)}& & =\sum _{i=1}^{m}log\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }e(-\frac{(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}{)}^2}{2{\sigma }^2})\text{(6)}& & =mlog\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }-\frac{1}{{\sigma }^2}\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\theta }^T{x}^{(i)}{)}^2\end{array}$$
  
  得到目标函数 J(θ)$J(\theta )$
  
  J(θ)=12∑i=1m(hθ(x)−y(i))2(7)$$\begin{array}{}\text{(7)}& J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x)-y^{(i)}{)}^2\end{array}$$
  
  要是目标函数越小越好
  
  J(θ)=12∑i=1m(hθ(x)−y(i))2=12(Xθ−y)T(Xθ−y)(8)(9)$$\begin{array}{}\text{(8)}& J(\theta )& =\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x)-y^{(i)}{)}^2\text{(9)}& & =\frac{1}{2}(X\theta -y{)}^T(X\theta -y)\end{array}$$
  
  
  ∂θJ(θ)=∂θ(12(Xθ−y)T(Xθ−y))=∂θ(12(XTθT−yT)(Xθ−y))=∂θ(12(θTXTXθ−θTXTy−yTXθ+yTy))=12((2XTXθ−XTy−(yTX)T))=XTXθ−XTy(10)(11)(12)(13)(14)$$\begin{array}{}\text{(10)}& {\mathrm{\partial }}_{\theta }J(\theta )& ={\mathrm{\partial }}_{\theta }\left(\frac{1}{2}(X\theta -y{)}^T(X\theta -y)\right)\text{(11)}& & ={\mathrm{\partial }}_{\theta }\left(\frac{1}{2}(X^T{\theta }^T-y^T)(X\theta -y)\right)\text{(12)}& & ={\mathrm{\partial }}_{\theta }\left(\frac{1}{2}({\theta }^T{X}^{T}X\theta -{\theta }^T{X}^{T}y-y^{T}X\theta +y^{T}y)\right)\text{(13)}& & =\frac{1}{2}\left((2X^{T}X\theta -X^{T}y-(y^{T}X{)}^T)\right)\text{(14)}& & =X^{T}X\theta -X^{T}y\end{array}$$

• 此时要算导数值等于零XTXθ−XTy=0$X^{T}X\theta -X^{T}y=0$的点，即求极值点，得到最终结果
  

  θ=(XTX)−1XTy$$\theta =(X^{T}X{)}^{-1}{X}^{T}y$$
  
  参考资料
  高斯分布
  正态分布
  线性回归的理解