概率论随机变量专题

小插曲

其时这篇博客本来想先传到我的个人博客上的，结果发现公式在vscode中的pdf预览的时候完全ok，但是一传到hexo搭建的博客上的时候就出现了乱码的情况，好像是数学公式缺少渲染的插件，我说呢，唉，明天要是弄好了，再写一下解决的办法，界面就是如下所示：


下面进入正题

常用的离散型随机变量

一、二项分布

将该随机试验独立重复地进行n次.
独立:是指各次试验的结果互不影响
重复:是指在每次试验中P（A）=p保持不变，则称这n次独立重复试验叫n重伯努利试验。
公式 :说明$\dbinom{n}{k}表示同时在序号1到n中挑选k个的不同方法共有\dbinom{n}{k}种$(kn​)表示同时在序号1到n中挑选k个的不同方法共有(kn​)种
$P(X=k)= \dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},0<p<1,k=0,1,....,n$P(X=k)=(kn​)pk(1−p)n−k,0<p<1,k=0,1,....,n
称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记为X~B(n, p)
特别的当n=1时：$P(X=k)=\dbinom{1}{k}p^k(1-p)^{1-k}=p^k(1-p)^{1-k},0<p<1,k=0,1$P(X=k)=(k1​)pk(1−p)1−k=pk(1−p)1−k,0<p<1,k=0,1

二、 泊松分布

设随机变量X的取值为0,1,2，…，n，…,相应的分布律为
$P(X=k)=\frac {\lambda^k} {k!} *e^{-\lambda},\lambda>0,k=0,1,2,...,n...$P(X=k)=k!λk​∗e−λ,λ>0,k=0,1,2,...,n...
称随机变量X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ）

适用的场景

泊松分布也是一种常用的离散型分布，它常常与计数过程相联系，
例如：
（1）某一时段内某网站的点击量；
（2）早高峰时间段内驶入高架道路的车辆数；
（3）一本书上的印刷错误数．

泊松定理

在n重伯努利试验中，记A事件在一次试验中发生的概率为$ p_n $，如果当n→+∞时，有n$，如果当n→+∞时，有n p_n $→λ（>0），则
$\xrightarrow[n\longrightarrow+\Join]{lim}\dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n^{n-k}=\frac {\lambda^k} {k!} *e^{-\lambda})$limn⟶+⋈​(kn​)pnk​(1−pnn−k​=k!λk​∗e−λ)

常用的连续型随机变量

一均匀分布

设X为随机变量，对任意的二个实数a,b(a),概率密度函数为：
$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{a-b} &\text{if } a<x<b \\ 0 &\text{if } 其他 \end{cases}$f(x)={a−b1​0​if a<x<bif 其他​
则称随机变量X服从区间（a，b）上的均匀分布，记为X～U（a，b）．

若X～U（a，b），则相应的分布函数为:
$F(x) =\begin{cases} 0 &\text{if } x<a \\ \frac{x-a}{b-a}&\text{if } a\le x < b\\ 1&\text{if } x\ge b \end{cases}$F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧​0b−ax−a​1​if x<aif a≤x<bif x≥b​

注意概率密度函数和分布函数的区别！

二、指数分布

设X为随机变量，概率密度函数为：
$f（x） = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}&\text{if } x\ge 0 \\ 0 &\text{if } 其他 \end{cases}$f（x）={λe−λx0​if x≥0if 其他​
则称随机变量X服从参数为λ的指数分布，记为X～E（λ）
若X～E（λ），则相应的分布函数为：
$F(x) = \begin{cases} 0 &\text{if } x<0\\ 1-e^{-\lambda x} &\text{if } x\ge 0 \end{cases}$F(x)={01−e−λx​if x<0if x≥0​
由此得到，若X～E（λ），0<a<b，则P（a<X≤b）=F（b）-F（a）=$ e^{λa}-e{-λb} $

三、正态分布

设X为随机变量，概率密度函数为：

$f(x)= \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} ,-\bowtie<x<+\bowtie$f(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​,−⋈<x<+⋈
则称随机变量X服从参数为μ（-∞<μ<+∞）和$ σ^2 $（σ>0）的正态分布，记为X～N（μ，$（σ>0）的正态分布，记为X～N（μ， σ^2 $）

若X～N（μ，$ σ^2 $），则相应的分布函数为：
$F（x）=\int_\infty^1 \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^{- \frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt$F（x）=∫∞1​2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​dt

这个图像是一条光滑上升的S形曲线。

总结：才学习在makedown插入数学公式，竟然花费了半天时间终于把这篇文章写完了，我理解全部内容的时间都没有插入这些公式的时间长，泪目，不过也学习到了知识，发现了一篇公式表真的很全面，很用心，多亏了这篇公式表，不然这篇文章可能要更久，下面附上链接：
[知乎] (https://katex.org/docs/supported.html)