基于MATLAB的希尔伯特曲线索引构建@TOC

希尔伯特曲线矩阵构建

希尔伯特曲线是一种邻近索引，便于图像相邻区域的相关性分析。话不多说，上图：

如图所示，就是希尔伯特曲线。从左上角的起始位置开始沿线走下去就是该曲线的索引序列。

曲线的构建思路

在笔者看来，希尔伯特曲线的任何维度都可以抽象为四个矩阵的拼接。

以4的一次方为例，就是由0，1，2，3这四个1×1的矩阵拼接而成。拼接的规则为第一个矩阵和第二个进行上下拼接形成第五个矩阵；第三个矩阵和第四个进行下上拼接形成第六个矩阵，再将五六矩阵进行左右拼接，希尔伯特曲线由4的0次方扩张到4的1次方。

接下来是4的二次方。

可以看出，4的2次方维度的希尔伯特曲线矩阵是由四个4的1次方的矩阵拼接而成。上图中，红色序号为矩阵序号，一号矩阵为种子矩阵，二号矩阵是一号矩阵转置后各元素加上4的1次方得到；三号矩阵是二号矩阵各元素加上4的1次方得到；四号矩阵是三号矩阵沿副对角线转置后各元素加上4的1次方得到。最后将一、二矩阵进行左右拼接形成五矩阵，三、四矩阵进行右左拼接形成六矩阵，再将五六矩阵上下拼接，则希尔伯特曲线矩阵由4的1次方扩张到4的2次方。

再来看一下由4的2次方到4的3次方的扩张：

上图中，绿色序号为矩阵序号，一号矩阵为种子矩阵，二号矩阵是一号矩阵转置后各元素加上4的2次方得到；三号矩阵是二号矩阵各元素加上4的2次方得到；四号矩阵是三号矩阵沿副对角线转置后各元素加上4的2次方得到。最后将一、二矩阵进行上下拼接形成五矩阵，三、四矩阵进行下上拼接形成六矩阵，再将五六矩阵左右拼接，则希尔伯特曲线矩阵由4的2次方扩张到4的3次方。

讲了这么多，相信规律大家已经找到了吧？我来总结一下：希尔伯特矩阵的扩张是由矩阵的复制变化和矩阵的拼接两部分构成。
首先是矩阵的复制规律：复制种子矩阵并转置后各元素加上种子矩阵的元素个数值，形成二号矩阵；复制二号矩阵并将各元素加上种子矩阵的元素个数值，形成三号矩阵；复制三号矩阵并逆转置（即沿副对角线的转置，自己起的名字）后各元素加上种子矩阵的元素个数值，形成四号号矩阵。
接下来是矩阵的拼接：如果是由4的奇数次方扩张到4的偶数次方，则将一、二矩阵进行左右拼接形成五矩阵，三、四矩阵进行右左拼接形成六矩阵，再将五六矩阵上下拼接完成矩阵的扩张；如果是由4的偶数次方扩张到4的奇数次方，则将一、二矩阵进行上下拼接形成五矩阵，三、四矩阵进行下上拼接形成六矩阵，再将五六矩阵左右拼接完成矩阵的扩张。

代码展示

首先解释一下逆转置：

如上图所示，矩阵的转置是沿红色线（主对角线）对称部分元素互换；矩阵的逆转置则是沿绿色线（副对角线）对称元素进行互换。矩阵逆转置函数如下：
%========================
%% 矩阵逆转置
% 输入pjz0为原始矩阵
% 输出pjz为逆转置后的矩阵
function [pjz] = zhuanzhijz(pjz0)
[r,c] = size(pjz0);
for i = 1:1:r
for j = 1:1:c
pjz(i,j) = pjz0(r-j+1,c-i+1);
end
end
end
%=======================

接下来就是代码主体部分，流程图如下：

%================================
weidu = 4; %指定维度（可以是任意正整数！）
xlbt = 0 ; %雪球核（维度为4的0次方）
pGM = weidu-2;jsqgm = -1;
while jsqgm <=pGM
jsqgm = jsqgm + 1 ;
a1 = xlbt’+ 4^(jsqgm) ;
a2 = a1 + 4^(jsqgm) ;
a3 = zhuanzhijz(a2) +4^(jsqgm) ;
if mod(jsqgm,2) == 0
xlbt = cat (1,xlbt,a1);
xlbt1 = cat(1,a3,a2);
xlbt = cat (2,xlbt,xlbt1);
else
xlbt = cat (2,xlbt,a1);
xlbt1 = cat(2,a3,a2);
xlbt = cat (1,xlbt,xlbt1);
end
end
%===============================

总结

笔者将希尔伯特曲线矩阵的构建看成是一个滚雪球的过程，起始的雪球核为4的0次方个元素即1个元素，值可以是任意值，本文定义为0.雪球通过迭代滚大，每迭代一次，雪球滚三次，雪球壮大为原来的4倍。怎么样，这个比喻会不会使你理解起来比较方便？
最后是本代码的生成结果（一张希尔伯特矩阵索引表）：