梯度下降

定义： 梯度下降是一个用来求函数最小值的算法，我们将使用梯度下降算法来求出代价函数????(????0,????1) 的最小值。
梯度下降的抽象例子： 想象一下你正站立在山的这一点上，站立在你想象的公园这座红色山上，在梯度下降算法中，我们要做的就是旋转 360 度，看看我们的周围，并问自己要在某个方向上，用小碎步尽快下山。这些小碎步需要朝什么方向？如果我们站在山坡上的这一点，你看一下周围，你会发现最佳的下山方向，你再看看周围，然后再一次想想，我应该从什么方向迈着小碎步下山？然后你按照自己的判断又迈出一步，重复上面的步骤，从这个新的点，你环顾四周，并决定从什么方向将会最快下山，然后又迈进了一小步，并依此类推，直到你接近局部最低点的位置。
批量梯度下降（batch gradient descent）算法的公式为：

其中：=表示赋值的意思，????是学习率（learning rate），它决定了我们沿着能让代价函数下降程度最大的方向迈出的步子有多大，在批量梯度下降中，我们每一次都同时让所有的参数减去学习速率乘以代价函数的导数。
实现梯度下降算法的微妙之处是，在这个表达式中，如果你要更新这个等式，你需要同时更新????0和????1，也就是同步更新。
让我们来看看如果????太小或????太大会出现什么情况：（1）a太小，如下图，即我的学习速率太小，结果就是只能这样一点点地挪动，去努力接近最低点，这样就需要很多步才能到达最低点，所以如果????太小的话，可能会很慢，因为它会一点点挪动，它会需要很多步才能到达全局最低点。

（2）如果????太大，那么梯度下降法可能会越过最低点，甚至可能无法收敛，下一次迭代又移动了一大步，越过一次，又越过一次，一次次越过最低点，直到你发现实际上离最低点越来越远，所以，如果????太大，它会导致无法收敛，甚至发散。
假设你将????1初始化在局部最低点，在这儿，它已经在一个局部的最优处或局部最低点。结果是局部最优点的导数将等于零，因为它是那条切线的斜率。这意味着你已经在局部最优点，它使得????1不再改变，也就是新的????1等于原来的????1，因此，如果你的参数已经处于局部最低点，那么梯度下降法更新其实什么都没做，它不会改变参数的值。这也解释了为什么即使学习速率????保持不变时，梯度下降也可以收敛到局部最低点。