A ROBUST KERNEL PCA ALGORITHM

Lu C, Zhang T, Du X, et al. A robust kernel PCA algorithm[C]. international conference on machine learning and cybernetics, 2004: 3084-3087.

引

这篇文章的思想很简单，如何将robust 和 kernel结合起来：找出异常值，将异常值排除，再进行kernel PCA。但是实际上，并非这么容易。

首先，论文抛出了俩个问题：
1.在原空间中为异常值的点，通过kernel隐式地被映射到高维空间后是否依旧是异常值；
2.如何判断该点是否为异常值。

主要内容

问题一

论文引了一篇文献来说明此问题，我没有去查阅：
当非线性映射$\Phi(\cdot)$Φ(⋅)为连续平滑（可微？）的函数是，数据的拓扑结构 不变。所以，一般的kernel应当是符合条件的。

问题二

论文圈定一个范围，先找到一个超球体，将所有的数据点都包裹进去的最小超球体，即：
$\|\Phi(x_i) - c\| \le R^2$∥Φ(xi​)−c∥≤R2
其中$c$c是球体的中心，假设$c = \sum \limits_i \lambda_i^0 \Phi(x_i)$c=i∑​λi0​Φ(xi​),那么$\lambda_i^0$λi0​将是下列方程的最优解（这个也是引入文献说明的，我也不打算深究）：

好吧，截个图：

有了中心，我们就可以通过计算$\Phi(x_i)$Φ(xi​)与$c$c的最大距离来确定$R$R:

好了，现在$R$R也找到了，可是，所有的点都在超球内，得找一个$R'$R′来限定出一些奇异值来，问题是$R'$R′该怎么找呢？这个地方我真的觉得蛮扯的，找一个$R'$R′使得异常点的数量为$3\% \sim 5\%$3%∼5%，这个怎么说呢，我觉得会不会太主观了。所以，就是以一定步长来搜索$R'$R′？感觉好蠢。