【CV】3D空间中椭球曲面与直线的交点问题

3D空间中的椭球曲面方程与直线方程

首先，在 3D 空间XYZ$\text{XYZ}$坐标系中，
椭球曲面的方程为

,其中 (Cx,Cy,Cz)$(C_x,C_y,C_z)$为椭球的中心坐标，Rx,Ry,Rz$R_x,R_y,R_z$ 分别为对应坐标轴上的半径。

直线方程选用一般化的参数方程形式:

参数方程来源于空间方程的两点式 – 设一直线过 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)$M_1(x_1,y_1,z_1),M_2(x_2,y_2,z_2)$,则此直线的方程为

, 这种两点式直观，但是有一个弊端，就是要求(x2−x1)⋅(y2−y1)⋅(z2−z1)≠0$(x_2-x_1)\cdot (y_2-y_1)\cdot (z_2-z_1)\ne 0$, 因而写成上面，更一般的参数方程形式。其对应关系是

• (x0,y0,z0)$(x_0,y_0,z_0)$ 对应 (x1,y1,z1)$(x_1,y_1,z_1)$
• kx=x2−x1,ky=y2−y1,kz=z2−z1$k_x=x_2-x_1,k_y=y_2-y_1,k_z=z_2-z_1$
• t$t$ 对应两点式中三个比值中的任意一个底部不为0 的比值

3D空间中椭球曲面与过椭球中心的直线相交模型

图中

• 点 P$P$ 为 直线 MC$MC$ 和 以C$C$为中心的椭球曲面的下交点(可以想象关于C$C$ 对称的上交点P′$P^{\prime }$)
• 点 M$M$、N$N$ 位于同一平面上，N$N$ 为 P$P$ 在此平面上的投影, PN⊥$PN\mathrm{\perp }$ M$M$、N$N$ 所在平面

场景 1： 已知 M 求 N

MC 的直线方程为

, 其中

将(x,y,z)$(x,y,z)$ 代入到椭球曲面方程，可以得到

, 其中 , 从而求得 , 代回到直线方程，进而求得交点 P$P$ 的坐标。再依点P$P$ 向 M$M$所在平面坐垂线，最终得到 N$N$的坐标。

场景 2 : 已知 N 求 M

场景 1 的逆过程而已。
假定 M$M$, N$N$位于水平面，则N$N$的坐标 (Nx,Ny,0)$(N_x,N_y,0)$,向上引垂线，假设与椭球面相交，交点为 P, 则 P 点坐标为 (Px,Py,Pz)$(P_x,P_y,P_z)$ 满足 Px=Nx,Py=Ny$P_x=N_x,P_y=N_y$, 带入椭球面方程，可以得到

, 其中 , 若 β<0$\beta <0$, 则方程无解，点N$N$引垂线不和椭球面相交，交点不存在. 若 β≥0$\beta \ge 0$, 则可得 , 取交点 P$P$ 与 C$C$ 解直线参数方程，使得 z=0$z=0$,即可求得 M$M$的坐标。