粒子滤波原理及应用

matlab中求方差的函数有var()和std()两种，var()得到的为方差，std()得到的为标准差，两者都有有偏和无偏之分，除以样本总个数N为无偏(unbiased)，除以N-1为有偏（bessel’s correction）；
用法为R=var(X)=var(X,0)——有偏
R=var(X,1)——无偏
协方差Cov(X,Y)=E{[X-E(X)]*[Y-E(Y)]}

蒙特卡洛方法
1.构造或描述概率过程（将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题）
2.从已知概率分布中抽样
3.建立各种估计量（确定一个随机变量，作为所要求问题的解，即无偏估计）

蒙特卡洛方法的收敛性
根据中心极限定理

α很小时，成为显著水平，1-α称为置信水平，如果标准差不为0，蒙特卡洛方法的误差为
正态差与显著水平是一一对应的 ，由
可得

设产生一个x的成本为C，那么总成本
所以提高效率方法的方向是减小标准差的同时兼顾费用，使方差和费用C的成绩尽可能小
蒙克卡洛方法的误差只与标准差和样本容量有关

例子滤波
粒子是随机试验的一个样本x，粒子集是样本集合X，粒子数是样本集合的数目。

系统状态方程，X(k)表示k时刻的状态，W表示过程噪声
当过程噪声符合均值为0，方差为Q的高斯分布时

观测方程和测量噪声

粒子滤波是一种基于蒙特卡洛仿真的近似贝叶斯滤波算法，核心思想是用离散随机采样点近似系统随机变量的概率密度函数，以样本均值代替积分运算，实现状态的最小方差估计。

均值思想——利用粒子集合的均值作为滤波器的估计值，要很好地“覆盖”真实值
权重计算——实现对“优质”粒子的复制和对“劣势”粒子的淘汰
做加权平均
计算权值：
可以通过预测值与观测值的绝对值来计算权重

高斯函数为

将其变为

假定均值为0，标准差为1，可得分布图，把x=dz代入公式
得

优胜劣汰——重采样算法，对样本重新采样，大量繁殖权重高的粒子，淘汰权值低的粒子，从而抑制退化。

重采样之前粒子集合与权重的有序对为
重采样之后变为

粒子总数保持不变，权重大的粒子分成了多个粒子，权值特别小的被抛弃，每个粒子权值相同，均为1/N
重采样算法：随机采样，系统采样，残差采样，多项式采样

随机重采样：
（1）在[0,1]上均匀分布随机数组，粒子总数为N
（2）产生粒子权重累计函数cdf
（3）计算，需要调用cumsum()函数，如果A是一个向量，cumsum(A)返回一个向量，该向量第m行元素为A中第1行到第m行所有元素累加和