数值积分之初步介绍

为什么要数值积分呢？也就是数值积分的必要性问题？

数值积分的必要性源自计算函数的原函数的困难性。利用原函数计算定积分的方法建立在牛顿—莱布尼兹之上。然而，原函数可以用初等函数表示的函数为数不多，大部分的可积函数的积分无法用初等函数表示，甚至无法有解析表达式。

不仅如此，在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等。另外，积分函数有可能是某个微分方程的解。由于很多微分方程只能数值求解，因此只能知道函数在某些点上的取值。这时是无法用求原函数的方法计算函数的积分的。

基于上述的两种传统积分无法解决的问题，才有了数值积分的必要性。

数值积分的意思就是用其他方法（数值分析）的方法来近似求解积分问题，这固然存在误差，但是误差是人们能够接收的。误差不可避免，这就是理想与现实的关系。

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给出一种求积方法，利用机械求积公式求解积分。

很简单，就是利用求积区间上的某些点上的函数值的加权和。

这里的求积节点，求积系数以及求积余项（误差）是需要研究的问题。

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下面给出常用的求积公式：

解释一下，矩形公式的意思就是用一个节点以及该节点出的函数值来估算积分值，n=0，则n+1=1，代表机械求积公式中的求积节点数，类似于矩阵求面积的公式，所以称为矩阵公式。

同理，n=1，就有两个求积节点，也就是两个求积节点处的函数值的加权和来估算积分，同理，公式类似于梯形求面积公式，因此得名梯形公式；

求积节点通常去积分区间端点；

最后一个是辛普森公式，是以人名命名的，其来历后面会有涉及，上面所有情况，都是某种求积公式的特殊形式而已。

辛普森公式，这里就不在多言，该公式记住，代入相应的求积节点以及节点处的函数值，就可以估算出相应的积分值。

求积公式还有很多，到底该使用哪一个来估算积分值呢？这是如何评价积分公式的优劣问题，见下一部分。

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如何判断求积公式的优劣？

代数精度：

就是当需要积分的函数为幂函数时，当幂取一定值时，例如时，利用数值积分公式求解出来的积分和原积分值一样；当，求积公式不精确成立，那么就称求积公式具有m次代数精度。

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大家可以进行验证，以下常用的求积公式的代数精度：

下面展示了梯形公式具有1次代数精度的证明过程；

  

梯形公式又称为中矩形公式；

————————————————————————————————————————————————————最后补充一个加权的定积分的数值积分方法，与上面所讲的实际上一致，相当于被积函数乘上了一个权函数构成了一个新的被积函数而已。

下篇博文继续数值积分：插值型求积公式