最优控制理论 二+、哈密尔顿函数法的补充

前面我在第二章最优控制理论 二、哈密尔顿函数法给出了Hamilton函数法一些重要推导过程和一些常用公式。最近翻看，觉得写得太多了，于是把一部分不重要的贴到下面，另成一篇。

2.1 Hamilton函数的性质

沿最优轨线$x^*(t)$x∗(t)，Hamilton函数对时间的全导数等于其对时间的偏导数，即
$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H}{\partial t}$dtdH​=∂t∂H​

证明：对Hamiltonian按照链式求导法则全导数：
$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H^{\mathrm{T}}}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial H^{\mathrm{T}}}{\partial \lambda} \dot{\lambda}+\frac{\partial H^{\mathrm{T}}}{\partial u} \dot{U}+\frac{\partial H}{\partial t}$dtdH​=∂x∂HT​x˙+∂λ∂HT​λ˙+∂u∂HT​U˙+∂t∂H​

考虑到最优轨线附近满足
$\begin{aligned} -\frac{\partial H}{\partial x}&=\dot\lambda\\ \frac{\partial H}{\partial u}&=0\\ \frac{\partial H}{\partial \lambda}&=f=\dot x \end{aligned}$−∂x∂H​∂u∂H​∂λ∂H​​=λ˙=0=f=x˙​

代入则公式$(4)$(4)可证。$\square$□
此外，若Hamiltonian不显含时间t，则显然有
$\frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{d} t}=\frac{\partial H}{\partial t}=0$dtdH​=∂t∂H​=0

于是可得$H(x^*(t),u^*(t),\lambda^*(t),t)=\text{Const}$H(x∗(t),u∗(t),λ∗(t),t)=Const，若进一步考虑边界条件，对于$t_f$tf​固定的，则$H(*,t)=H(0)$H(∗,t)=H(0)； 对于$t_f$tf​自由的问题，查表，有终端约束$H(*,t_f)=0$H(∗,tf​)=0，则$H(*,t)=0$H(∗,t)=0

5. 其他等式约束

第3部分我们只考虑了终端等式约束，但是实际的动力学和控制问题里常有其他类型的等式约束，如

• 积分方程约束$\int_0^{t_f}N(x(t),u(t),t)\text d t=\beta$∫0tf​​N(x(t),u(t),t)dt=β
• 控制输入的约束$N(u(t),t)=0$N(u(t),t)=0
• 控制输入和状态变量的等式约束$N(x(t),u(t),t)=0$N(x(t),u(t),t)=0

下面可以证明，以上这些等式约束都可以用Hamilton函数法解决。

5.1 积分方程约束

对$\int_0^{t_f}N(x(t),u(t),t)\text d t=\beta\in\Reals^q\tag{integral Eq constraints}$∫0tf​​N(x(t),u(t),t)dt=β∈Rq(integral Eq constraints)引入扩充的状态变量$y(t)\in\Reals^q$y(t)∈Rq且它满足
$\dot y=N(x,u,t)\\ y(0)=0,y(t_f)=\int_0^{t_f}N(x(t),u(t),t)\text d t\beta\tag{terminal Eq constraints}$y˙​=N(x,u,t)y(0)=0,y(tf​)=∫0tf​​N(x(t),u(t),t)dtβ(terminal Eq constraints)

则把上面这个积分方程约束化为终端状态约束，两个方程等价。仍可套用终端状态约束的框架，需要注意由于状态扩充为$n+q$n+q维；并多了$q$q个Lagrange乘乘数，加上原来的$m$m个，共有$m+q$m+q个终端约束和$m+q$m+q个未知的Lagrange乘数。

5.2 控制变量和状态变量等式约束

设状态变量和等式约束具有以下形式：
$N(x(t),u(t),t)=0,t_0\lt t\lt t_f\tag{state+control Eq constraints}$N(x(t),u(t),t)=0,t0​<t<tf​(state+control Eq constraints)对这个q维的等式约束，引入Lagrange乘子$\mu(t)\in\Reals^q$μ(t)∈Rq，并且Hamilton函数变成：
$H\triangleq L+\lambda^{\mathrm T}f+\mu^{\mathrm T}N$H≜L+λTf+μTN相应地，协态方程和控制方程都要变：
$\dot\lambda=-\frac{\partial H}{\partial x}=-L_x-\lambda^{\mathrm T}f_x-\mu^{\mathrm T}N_x \\ \frac{\partial H}{\partial u}=L_u+\lambda^{\mathrm T}f_u+\mu^{\mathrm T}N_u =0$λ˙=−∂x∂H​=−Lx​−λTfx​−μTNx​∂u∂H​=Lu​+λTfu​+μTNu​=0

5.3 补充

纯控制变量约束$N_1(u(t),t)=0$N1​(u(t),t)=0和状态变量等式约束$N_2(x(t),t)=0$N2​(x(t),t)=0
都属于控制变量+状态变量等式约束的一种，可以直接套用它的方法。

6. 角点条件

前面的假设是控制$u(t)$u(t)和状态变量$x(t)$x(t)都在$t_0\lt t\lt t_f$t0​<t<tf​区间段连续可导，但是由于种种限制，往往很难做到这一点。下面我们来考虑协态变量$\lambda(t)$λ(t)和Hamilton函数的连续性和可导性。

6.1 $\mathbf u(t)$u(t)分段连续时的角点条件

控制$\mathbf u(t)$u(t)分段连续时，控制方程对它分段成立，但是对公式$(\dag)$(†)定义的Hamilton函数的原始形式
$\bar H(x,\dot x,\lambda,t)=L(x,\dot x,t)-\lambda^{\mathrm T}(f(x,\dot x,t)-\dot x)$Hˉ(x,x˙,λ,t)=L(x,x˙,t)−λT(f(x,x˙,t)−x˙)

由角点处的Weierstrass-Erdmann条件，有
$\begin{aligned} \left.\bar{H}_{\dot{X}}\right|_{t_i-} &=\left.\bar{H}_{\dot{X}}\right|_{t_i+} \\ \bar{H}-\left.\dot{X}^{\mathrm{T}} \bar{H}_{\dot{X}}\right|_{t_i-} &=\bar{H}-\left.\dot{X}^{\mathrm{T}} \bar{H}_{\dot{X}}\right|_{t_i+} \end{aligned}$HˉX˙​∣∣​ti​−​Hˉ−X˙THˉX˙​∣∣∣​ti​−​​=HˉX˙​∣∣​ti​+​=Hˉ−X˙THˉX˙​∣∣∣​ti​+​​

对标准形式的Hamilton函数$H\triangleq L+\lambda^{\mathrm T}f$H≜L+λTf，以下条件等价
$\begin{aligned} \lambda({t_i-})&=\lambda({t_i+})\\ \left.H\right|_{{t_i-}} &=\left.{H}\right|_{t_i-+} \\ \end{aligned}$λ(ti​−)H∣ti​−​​=λ(ti​+)=H∣ti​−+​​

即Hamilton函数连续，且协态变量连续。

6.2 $\mathbf x(t)$x(t)分段连续时的内点约束

若状态变量$x(t)$x(t)分段连续$\mathbf x(t_i-)=\mathbf x(t_i+)$x(ti​−)=x(ti​+)，但在某些点有内点条件（Interior-Point constraints），即
$\psi^{(i)}(\mathbf x(t_i),t_i)=0,\quad\psi^{(i)}\in\Reals^{q_i}, t_0\lt t_i\lt t_f,i=1,2,\cdots,N$ψ(i)(x(ti​),ti​)=0,ψ(i)∈Rqi​,t0​<ti​<tf​,i=1,2,⋯,N

此种情况下，在每一个角点处条件是：
$\lambda(t_i-)=\lambda(t_i+)+\mathbf\mu^{\mathrm T}\frac{\partial \psi^{(i)}}{\partial\mathbf x}\\ H(t_i-)=H(t_i+)+\mathbf\mu^{\mathrm T}\frac{\partial\psi^{(i)}}{\partial t}\tag {10}$λ(ti​−)=λ(ti​+)+μT∂x∂ψ(i)​H(ti​−)=H(ti​+)+μT∂t∂ψ(i)​(10)

其中$\mu\in\Reals^{q_i}$μ∈Rqi​，对应为该内点约束的Lagrange乘子。以上这个内点约束$(10)$(10)对于分段连续的状态方程也成立
$\begin{aligned}\dot\mathbf x&=\left\{\begin{matrix}f^{(1)}(\mathbf x(t),u(t),t)&t\in[t_0,t_1]\\ \cdots\\ f^{(q)}(\mathbf x(t),u(t),t)&t\in(t_{q-1},t_q]\\ \end{matrix}\right.\\ &\mathbf x(t_i-)=\mathbf x(t_i+),i=1,2,\cdots,N \end{aligned}$x˙​=⎩⎨⎧​f(1)(x(t),u(t),t)⋯f(q)(x(t),u(t),t)​t∈[t0​,t1​]t∈(tq−1​,tq​]​x(ti​−)=x(ti​+),i=1,2,⋯,N​

简单来说就是，Hamiltonian和协态变量$\lambda(t)$λ(t)在每一个内点约束附近发生间断。

6.3 $\mathbf x(t)$x(t)分段不连续时的内点约束

若状态变量$x(t)$x(t)是分段函数，在每一段连续可导，而每一段不连续$\mathbf x(t_i-)\neq\mathbf x(t_i+)$x(ti​−)​=x(ti​+)。如果这样的系统在某些点有内点条件（Interior-Point constraints），问题描述如[2]中3.7节的截图：

此种情况下，如公式$(\ddag)$(‡)所定义的标量函数，
$H^{(i)}\triangleq L^{(i)}+\lambda^{\mathrm T}f^{(i)}\\ \Phi\triangleq \phi+\sum_{j=0}^{N}[\nu^{(i)}]^{\mathrm T}\psi^{(i)}$H(i)≜L(i)+λTf(i)Φ≜ϕ+j=0∑N​[ν(i)]Tψ(i)

间断点处的状态变量不连续，但遵循约束条件；协态变量有；

控制变量由$x(t)$x(t)和$\lambda(t)$λ(t)推导得到。

参考文献

[1] 邢继祥. 最优控制应用基础[M]. 科学出版社, 2003.
[2] Bryson A E , Ho Y C ,Applied optimal control : optimization, estimation, and control[J]. IEEE Transactions on Systems Man & Cybernetics, 1975