Implicit Surfaces （一）
写在最前面:
本文只是对“Level Set Method and Dynamic implict Surfaces”这个文章的翻译，和添加自己的一点点的理解
正文开始：
第一部分：模糊表面（implicit surfaces）
接下来我们将对 implicit surfaces进行介绍，然后对一系列的参数进行讲解，当然这些参数将会在后续的过程中被使用到。（要是不会用到，也不会那么傻乎乎的去提，对不对，嘻嘻～～～）
1. 模糊函数
1.1 Points（一维边界为点）
在下面图中所画的那样子（请注意改图并没有y轴），我们先看X轴，当x取-1和1时，我们把X轴分成了三部分：（负无穷，-1）， （-1， 1）， （1， 正无穷）。
我们将称为内部区域，
把称为外部区域
把{-1， 1}称为边界（interface）（请注意，这里为花括号）
其中，边界的维度总是会比整个区域的维度低一个等级。比如，只看x轴的话，整个区域算是一个一维空间， 那么此时的边界就是零维度的。
边界又可以分析确定边界和模糊边界。
比如：在上述列子中所提到的，可以用具体数值描述的{-1， 1}就属于确定边界
模糊边界，则使用某些函数的等高线（函数图像）来表示。如上图所示：。可以通过确定不同的值域来得到相应的定义域，因为这个值域的选择时随机的，所以称之为模糊边界
1.2 曲线（二维边界为线）
当在二维空间时，我们的边界时一维的。这时的边界是一条曲线。并且我们提前做好约束，在我们讨论的所有曲线中都要求时封闭的。
如下图所示（请注意这里的图是有y轴的），曲线将整个区域分成了两部分，在曲线内的称为内部，曲线外部称为外部。（此时值域时取了0的）
在二维空间中，确定边界要求能够准确描述曲线上所包含的所有点。但是这个确定变的定义或者说时表述方式并不简单。以下为具体方法： 用一个向量函数来描述边界曲线，对参数s进行离散化：
， 其中每个区间之间的大小可以不相等。其中我们用
来表示曲线相应的二维的位置。
在二维空间中，模糊边界也是利用离散话的方式，但是与上面所说的不同，我们使用的时对有界子区域（不再是线）来完成离散化。
其中用来无限接近模糊函数
。在选择（x, y ）的时候会有一点点小技巧
我们不是取边界线内部区域所有的点，而是去选择靠近确定边界曲线的点。
interpolation（插值）概念的引入：正如上述所描述的那样，对于确定边界的区间和模糊边界的区域我们都进行了离散化。但是你有没有想过，我们的区间（或者区域）其实只能包含对应的那一部分区间（区域），仍旧有一部分的并没有被具体描述的。因此针对这个情况，引入了interpolation的概念。for example: 分段多项插值就可以用来确定数据点之间的边界形状。
grid(网格)概念的引入: 将定义模糊函数的数据点集我们称之为网格。我们常用的网格叫做：Cartesian grid(笛卡尔网格)
笛卡尔网格的定义如下：
其中，要求满足
。
还需要满足，xi之间和yi之间的间距时相等的。
由以上描述可知，笛卡尔网格是一个矩形区域：
当然，也不是说D内所有的点都是有用的。只要靠近确定边界附近的点，才具有存在的意义。这一点不要忘了哈。
1.3 面(三维边界为面)
当在3D空间时，我们的边界时二维的。这时的边界是一个曲面。并且我们提前做好约束，在我们讨论的所有曲线中都要求时封闭的。
我们取边界函数为：。当值域取0时，我们就可以得到一个半径为1的球面。球面以内为内部，球面以外为外部。
模糊曲面最好的属性之一是不需要为离散化确定相关性。
笛卡尔网格的
可以与来自两个空间维度的技术的直接概括一起使用。