Implicit Surfaces （二）

写在最前面:

本文只是对“Level Set Method and Dynamic implict Surfaces”这个文章的翻译，和添加自己的一点点的理解

正文开始：

1.4 Geometry Toolbox(几何工具箱)

已知一个确定边界，要判断某个点的位置，可通过以下的方法：

  1）从该点处，投射到已知位于边界之外的某个遥远的位置。如果此时 这两点所连成的线，在边界上的焦点为偶数个，则为外部点在边界上的焦点为奇数个，则为内部点。

 2)  这条等高线来作为边界，通过判断局部描述符的正负来判断内外部。为正表示外部，为负表示内部。

3） 当给出了一个点集的区间之后，再可以利用插值来判断一些正负。（但是数值型插值( numeriacal interpolation)有可能存在误差）

4）利用网格点集进行评估。其中要求我们的模糊函数足够的平滑，并且能通过网格来得到很好的解决

5） 用signed distance function 来表示表面

Boolean Operations

Gradient of the implicit function:

在某个零维边界点处的梯度评估是一个向量，这个向量与边界上的局部单位法向量方向相同。

单位法向量的表达式：

 

边界的模糊表示，在高维中同样适用。举例：

在x=0处，法向量时没有定义的，因此人为的将其定义为

在我们的笛卡尔网格中，对于的导数，需要近似，我们采用一下的方法：

1） 一阶准确的前向差异

外部点的一阶准确的前向差异：

内部点的二阶准确的前向差异：

 

当所有数值计算的有限差异相同为零时，等式的分母消失。此时可以随机的选择法向量

如果是平滑的良好函数，那么可以从在笛卡尔网格的节点处计算的N的值获得边界处法线的近似值。由此看到，这个度量函数的选择是十分紧要的。度量函数的选择问题，就是向量特征函数了。

边界的平均曲率

已知法向量为：

曲率的计算公式为：

如上图可知， 当k>0时为凸，k<0时，为凹。 k=0时为平面。

用来替代等式1.6，可以得到如下的曲率计算公式：对这公司做一些带入，可以得到：

上面的公式，就看成二阶导数，和高阶混合偏导。

在笛卡尔网格的计算过程中，最小的测量单元就是：，并且我们把曲率限制在一个范围内：，一旦有超出这个曲率范围的值，我们就用来替代。