Γ 函数
Γ 函数是阶乘在实数上的推广，定义为：
Γ(x)=∫+∞0tx−1e−t dt
Γ 函数的性质：
Γ(x+1)=xΓ(x)
Γ(n)=(n−1)!
Gamma分布
根据 Γ 函数的定义有：
∫+∞0xα−1e−xΓ(α) dx=1 (∗)
取积分中的函数作为概率密度，就得到了一个形式最简单的Gamma分布，其概率密度函数为：
Gamma(x|α)=xα−1e−xΓ(α)
若将公式
(∗) 中的
x 替换为
βt，则有下式成立：
∫+∞0(βt)α−1e−βtΓ(α) d(βt)=1
等价于：
∫+∞0βαtα−1e−βtΓ(α) dt=1 (∗∗)
于是就得到了Gamma分布更一般的形式，概率密度函数为：
Gamma(t|α,β)=βαtα−1e−βtΓ(α)
其中，
α 为Gamma分布的 shape parameter，主要决定了曲线的形状；而
β 为Gamma分布的 rate parameter 或者 inverse scale parameter，主要决定了曲线有多陡。
Gamma分布的归一化常数恰为 Γ 函数在点 α 处的值 Γ(α)。
Gamma分布的期望、方差：
E(t)=αβ
D(t)=αβ2
Beta函数
Beta函数的定义：
B(α,β)=∫10xα−1(1−x)β−1 dx
其中
α,β>0
Beta函数性质：
1.对称性
B(α,β)=B(β,α)
2.与
Γ函数的关系
B(α,β)=Γ(α)Γ(β)Γ(α+β)
其中
α,β>0
Beta分布
根据Beta函数的定义有：
∫10pα−1(1−p)β−1B(α,β) dp=1
上式中取积分中的函数作为概率密度，就得到了Beta分布：
B(p|α,β)=pα−1(1−p)β−1B(α,β)
可以发现
Beta分布的归一化常数恰为Beta函数在 (α,β) 处的值。
Beta 分布的期望、方差：
E(p)=αα+β
D[p]=ab(a+b)2(a+b+1)
Dirichlet分布
Dirichlet（狄利克雷）可以看做是将Beta分布推广到多变量的情形。概率密度函数定义如下
Dir(p⃗ |α⃗ )=1B(α⃗ )∏k=1Kpαk−1k (∗)
其中，
α⃗ =(α1,α2,…,αK) 为Dirichlet分布的参数。满足：
α1,α2,…,αK>0
B(α⃗ ) 表示 Dirichlet分布的归一化常数：
B(α⃗ )=∫∏k=1Kpαk−1k dp⃗
类似于Beta函数有以下等式成立：
B(α⃗ )=Γ(∑Kk=1αk)∏Kk=1Γ(αk)
归一化常数
B(α⃗ ) 有时也记为
Δ(α⃗ )
Dirichlet概率密度函数定义在 K−1 维单纯形上，随机变量 p⃗ 满足以下条件：
p1,p2,…,pK>0
p1+p2+…+pK=1
Dirichlet分布的期望为：
E(p⃗ )=(α1∑Kk=1αk,α2∑Kk=1αk,…,αK∑Kk=1αk)
