工业机器人——1如何描述刚体的运动状态？（台大机器人学学习笔记）

基础知识提要
1）我们先研究平面问题：定义一个平面坐标
如何描述刚体在这个平面的运动：对于一个平面（两个维度）刚体来说，我们需要三个参数（*度）来描述它的运动：2个参数（*度）来描述刚体的移动，一个参数（*度）描述刚体的转动。

对于空间中的一个刚体，我们也是先定义一个空间直角坐标系
如何描述刚体在这个空间的运动：对于一个空间（三个维度）的刚体来说，我们需要六个参数（*度）来描述刚体的运动状态：用三个*度来描述刚体前后，上下，左右的移动，三个*度来描述围绕坐标轴三个方向的转动。

对于上面所表示的移动和转动，我们可以用什么简单的方法把这两种状态混合在一起表达？？？
答案就是：
直接在刚体本身（质心）建立一个坐标系（body frame），利用坐标的信息来代替描述刚体的运动状态（移动与转动）
我们到底应该如何利用这个坐标信息去描述呢？
对于移动的部分，我们可以知道建立的坐标是跟着刚体在运动的，换句话说就是刚体运动到哪里，坐标就会运动到哪里；我们可以通过判定坐标的原点位置，就能知道刚体的运动状态（刚体和建立的自身坐标系是一直重合的）
对于转动的部分，由建立的自身坐标系的三个轴方向相对于世界坐标系的姿态，我们就能够得到刚体在世界坐标系下面的姿态。
总结，利用建立的自身坐标轴（body frame）的原点和各坐标轴的相对方向（姿态）就可以用来描述一个刚体在空间中移动和转动两个部分的运动状态。

上面描述的只是一个瞬间或者几何状态下的，我们需要描述的是一个运动的状态，如何去描述呢？

随着不同的时刻，刚体的质心会在不同的位置，我们把不同时刻的轨迹位置记录下来，如上图，我们把这个轨迹位置微分就可以得到刚体质心运动速度的状态，再次微分就可以得到刚体质心加速度的状态；转动方面也是如此，我们知道这个刚体的姿态之后，经过微分和二次微分就可以得到刚体的角速度和角加速度。

所以，我们只要知道了刚体本身的几何的状态，包含三个*度的移动和三个*度的转动，由这六个状态的微分，就可以知道整个刚体的运动状态

2）移动部分——具体的描述

建立一个世界坐标（world frame），然后在刚体质心位置建立一个坐标（body frame），原点和质心重合，只要追踪body frame原点的移动状态，就能得到刚体（质心）的移动状态，如何去量化这个原点的移动状态呢？
我们把质心以一个向量的方式和world frame做一个连接，如图绿线所示，假设为p向量。通过向量p来描述body frame的原点相对于world frame的状态

向量用法一：代表一个点，一个空间中绝对的位置，描述body frame 原点/质心
向量用法二：代表一个方向

3）转动部分——具体的描述

建立一个世界坐标（world frame），然后在刚体质心位置建立一个坐标（body frame），原点和质心重合，通过上面介绍的向量的含义我们知道body frame上面的三个主轴可以代表一个方向，我们可以利用这三个主轴来代表刚体在空间中的姿态，如何去具体描述呢？
我们可以利用旋转矩阵的方式去描述，就是body frame相对于world frame的状态，旋转矩阵里面的每一个列（column）代表了body frame三个轴各种指向的方向

具体就是把body frame的三个主轴投影到world frame的三个轴向上面，看各自的分量是多少。