关于复数的一些笔记

写在前面

复数的本质是一种旋转，不要只记住 i = − 1 i=\sqrt{-1} i=−1 ​,在复平面中，从1到i就是逆时针旋转90度，即乘i等于逆时针，乘-1等于顺时针，两次-i就正好等于两次i。有了这一层思想后，对复数。能有更深的认识

e π i + 1 = 0 e^{\pi i}+1=0 eπi+1=0如何来的

网上有一个有趣的视频讲解需要*
该等式被称为最完美的等式之一，因为它包含了数学中几个最重要的数。
首先要知道e是求复利得来的
复利就是 ( 1 + 1 / n ) n (1+1/n)^n (1+1/n)n 即如果每半年算一次利，那一年后就是(1+0.5)^2 即2.25, 以此类推，当n越来越大的时候，这个数就趋近于e了。
所以 e π = ( 1 + 1 / n ) π n = ( 1 + π / π n ) π n e^{\pi } = (1+1/n)^{\pi n} = (1+\pi/\pi n)^{\pi n} eπ=(1+1/n)πn=(1+π/πn)πn 现在括号里分母部分和指数部分相同，根据极限，随着 π n \pi n πn增大，该等式最后效果和自然数递增效果是一样的
可替换成 ( 1 + π / m ) m (1+\pi /m)^m (1+π/m)m
把 π \pi π也替换掉，则 e π i = ( 1 + π i / m ) m = ( 1 + i π m ) m e^{\pi i}= (1+\pi i/m)^m = (1+i \frac{\pi}{m})^m eπi=(1+πi/m)m=(1+imπ​)m
这里就用到之前的思想：复数的乘积/次方是一种旋转

这种旋转会产生螺旋线spiral, 可以发散也可以收敛，取决于开始位置

随着m递增，这个螺旋线会越来越趋近于半圆

当最后旋转到半圆的时候坐标就是(-1,0)=-1+0i=-1
即 e π i = − 1 e^{\pi i}=-1 eπi=−1

Fourier Transform傅立叶变换

周期性函数f(t)可以写成一大堆正余弦函数的和（有点泰勒展开的味道）
正余弦是一对标准正交积
f ( t ) = a 0 2 + Σ a n S i n ( n ω t + ϕ n ) = a 0 2 + Σ a n S i n ( n ω t ) + b n C o s ( n ω t ) f(t) = \frac{a_0}{2} + \Sigma a_nSin(n\omega t+\phi _n) = \frac{a_0}{2} + \Sigma a_nSin(n\omega t)+b_nCos(n\omega t) f(t)=2a0​​+Σan​Sin(nωt+ϕn​)=2a0​​+Σan​Sin(nωt)+bn​Cos(nωt)其中
a n a_n an​是频率， ω \omega ω是振幅, ϕ n \phi _n ϕn​是相位
这里的三个正交积是1, S i n ( n ω t ) , C o s ( n ω t ) Sin (n\omega t), Cos (n\omega t) Sin(nωt),Cos(nωt)

根据欧拉公式
c o s θ + i s i n θ = e i θ cos\theta + isin\theta=e^{i\theta} cosθ+isinθ=eiθ
令 θ = ω t \theta = \omega t θ=ωt则有 e i ω t e^{i \omega t} eiωt 表示一种逆时针旋转（i是逆时针 -i是顺时针）

傅立叶变换：可以有一种类似过滤的方式，利用标准正交积乘积为0的特性，可以实现filter的功能（也有点像one-hot）
现在有f(t)
则 F ^ T = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) e − j ω t d t = { = 0 不 含 ω ≠ 0 包 含 ω \hat{F}_T = \int_{-\infty}^{\infty}f(t) e^{-j \omega t} dt=\begin{cases}=0 & 不含\omega \\ \neq0 &包含\omega\end{cases} F^T​=∫−∞∞​f(t)e−jωtdt={=0​=0​不含ω包含ω​
反过来只需要使用 e j ω t e^{j\omega t} ejωt即可逆转这个过程
f ( t ) = ∫ − ∞ ∞ F T ( w ) e j ω t d w f(t) = \int_{-\infty}^\infty F_T(w)e^{j\omega t}dw f(t)=∫−∞∞​FT​(w)ejωtdw
可应用到声音和图像处理，声音的比较好理解，图像经过变换之后可以把粗略特征和细微特征分出来。也是一种分解的思想。

毕达哥拉斯（勾股定理）三元组生成

视频讲解可以看这里链接需要*
在复平面上有一个点，比如(3,2),写成复数形式就是3+2i,他这个点的和原点构成一个以3为底，以2为高的直角三角形，所以斜边的平方=9+3=13(a^2 +b^2 )
现在讲复数进行平方 (3+2i)^2 = 5+12i(a^2 - b^2 +2ab)
这里13(a^2 +b^2 )就分别和5(a^2 - b^2) 以及12(2ab)构成勾股定理，验证一下就是(a^2 +b^2 )^2 = (a^2 - b^2 ) ^2 +(2ab)^2

同理还可以使用其他的点进行测试（并不是所有点），比如(7,2)那么(a^2 + b^2 )=53，(a^2 - b^2 ) = 45, 2ab=28。
虽然你就算不知道复数，只用平方和公式就能推导出来，但视频中讲空间旋转成复数空间和毕达哥拉斯三元组曲线的画面比较震撼，可以看看。