【人工智能学习笔记】 1.5离散数学 -2.一阶谓词逻辑,集合的概念

北京大学慕课学习笔记

一阶谓词逻辑中的

• 个体、谓词、量词等基本概念
• 几个重要的等值式
• 推理定律

个体

将可以独立存在的客体（具体事务或抽象概念）称为个体或个体词，并用a,b,c,…表示个体常元，用x,y,z,…表示个体变元。(个体的函数还是个体，例如，设a,b是数，f(a,b)可以表示a和b的运算结果，如a+b、a . b等。)将个体变元的取值范围称为个体域，个体域可以是有穷或无穷集合。人们称由宇宙间一切事务组成的个体域为全总个体域。

谓词

将表示个体性质或彼此之间关系的词称为谓词，常用F,G,H,…表示谓词常元或谓词变元，用F(x)表示“x具有性质F”，用F(x,y)表示“x和y具有关系F”。例如，若F(x)表示“x是黑色的”，a表示黑板，则F(a)表示“黑板是黑色的”；若F(x,y)表示“x大于y”，则F(5,2)表示“5大于2”。

量词、全称量词

称表示数量的词为量词。
全称量词是自然语言中的“所有的”、“一切的”、“任意的”、“每一个”、“都”等的统称，用符号“$\forall$∀”表示。
用$\forall$∀x表示个体域里的所有x；
用$\forall$∀xF(x)表示个体域里所有x都有性质F。

存在量词

存在量词是自然语言中的“有一个”、“至少有一个”、“存在着”、“有的”等的统称，
用符号“$\exists$∃”表示。
用$\exists$∃x表示存在个体域里的x；
用$\exists$∃xF(x)表示在个体域里存在x具有性质F。

命题符号化

例

将下面命题符号化
① 人都吃饭；
② 有人喜欢吃糖；
③ 男人都比女人跑得快（这是假命题）。
使用全总个体域。

一阶谓词逻辑公式及其分类

一阶谓词逻辑公式也简称为公式，它的形成规则类似于命题逻辑公式，只需加上一条，即若A是公式，则$\forall$∀x A及$\exists$∃x A也都是公式。在公式$\forall$∀x A和$\exists$∃x A中，称x为指导变元，称A为相应量词的辖域。在$\forall$∀x和$\exists$∃x的辖域中，x的所有出现都称为是约束出现，A中不是约束出现的变元称为*出现。

解释

对于给定的公式A，如果指定A的个体域为已知的D，并用特定的个体常元取代A中的个体常元，用特定函数取代A中的函数变元，用特定的谓词取代A中的谓词变元，则就构成了A的一个解释。给定的一个公式A可以有多种解释。

例

给定公式A为$\forall$∀x(F(x)$\rightarrow$→G(x)) ，有多种解释。
解释①：取个体域为实数集合，F(x): x是有理数，G(x): x能表示成分数，A解释为“有理数都能表示成分数”，这是真命题。
解释②：取个体域为全总个体域，F(x): x是人，G(x): x长着黑头发，A解释为“人都长着黑头发”，这是假命题。

永真、永假、可满足、等值式

若A在任何解释下都为真，则称A为永真式。
若A在任何解释下都为假，则称A为永假式。
若A至少存在一个成真的解释，则称A为可满足式。
若A$\leftrightarrow$↔B是永真式，则称A与B是等值的，记为A$\leftrightarrow$↔B，
并称A$\leftrightarrow$↔B为等值式。

小结

逻辑符号：个体词a,b,c,…、谓词 F(x), G(x,y),H(x,y,z),…、
量词 $\forall$∀ $\exists$∃
逻辑概念： 公式、解释、永真式、永假式、可满足式、
等值式、等值演算、推理定律、前束范式
逻辑规则：换名规则