背景介绍

最近看B站看到有这样一个题。
$1+2+3+4+\dots +\infty=?$1+2+3+4+⋯+∞=?
这不是很简单吗？没有上限，那么肯定还是$\infty$∞喽。

诶，和我想的一样。但是数学题是不能用直觉来做的，需要深入思考。

解题方法

首先设3个数：
$S_1=1-1+1-1+1\dots$S1​=1−1+1−1+1…
$S_2=1-2+3-4+5\dots$S2​=1−2+3−4+5…
$S=1+2+3+4+5\dots$S=1+2+3+4+5…

然后依次求解。首先是$S_1$S1​。
我们得找个位置让它停下来，比如说偶数位，那么是0，如果是奇数位，那么是1。这就比较麻烦，所以，由于是无穷，可以看做是停在奇数位和偶数位的可能是一样的，完全一样。因此，可以得出，其和就是1和0的平均数，即$\dfrac{1}{2}$21​。
也许这样的解释并不能让人满意，因此再提供一种可靠的思路。因为$S_1$S1​真的非常重要。

看这个图，如果能找到一个$p$p，使得$0< p<1$0<p<1，那么可以将其分成$p,(1-p)$p,(1−p)两部分。然后依次类推，然后加起来趋向1，最后可以得到：
$(1-p)+p(1-p)+p^2(1-p)\dots=1$(1−p)+p(1−p)+p2(1−p)⋯=1
两边除以$(1-p)$(1−p)得：
$1+p+p^2+p^3=\dfrac{1}{1-p}$1+p+p2+p3=1−p1​
然而这个式子虽然发现是在1和0之间，如果不取1，则仍然有意义，因此可以将$p=-1$p=−1代入。
$1-1+1-1+1\dots=\frac{1}{2}$1−1+1−1+1⋯=21​
故，$S_1=\frac{1}{2}$S1​=21​

然后看$S_2$S2​。
这时我们不需要在无穷的地方考虑了。我们想，将2个$S_2$S2​加起来。即：
$\,\,\,\,1-2+3-4+5\dots$1−2+3−4+5…
$+1-2+3-4+5\dots$+1−2+3−4+5…
诶，肯定不是这么加，这样和*2没什么区别。因此将其错位：
$\,\,\,\,1-2+3-4+5\dots$1−2+3−4+5…
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+1-2+3-4+5\dots$+1−2+3−4+5…
然后上下对位相加可得：
$1-1+1-1+1\dots=S_1=\frac{1}{2}$1−1+1−1+1⋯=S1​=21​
然后由于我加了两次的$S_2$S2​，除以2即可。因此：
$S_2=\frac{1}{4}$S2​=41​。

最后，用$S_2$S2​来求解$S$S。
这时，我们用$S-S_2$S−S2​，得：
$\,\,\,\,\,\,1+2+3+4+5\dots$1+2+3+4+5…
$-(1-2+3-4+5\dots)$−(1−2+3−4+5…)
上面我又进行了对齐的处理，然后可以依次相减，得到：
$\quad0+4+0+8+0+12\dots$0+4+0+8+0+12…
$=4+8+12\dots$=4+8+12…
$=4(1+2+3+4\dots)$=4(1+2+3+4…)

这时答案已经出来了，因为括号中的部分就是$S$S，因此可以列方程得：
$S-S_2=4S$S−S2​=4S
而$S_2=\frac{1}{4}$S2​=41​
所以解得$S=-\frac{1}{12}$S=−121​

感悟

？？？是不是不可思议，居然还是个负数。
而这个结果在物理学各方面都运用广泛。

一遍又一遍地品读，不仅没有bug，又绽放出了数学之美，奇妙啊！！

当然，如果你用计算器按出$S$S的结果，是不可能的。因为你无法到达无穷，但是数学可以。
看完这个视频，不由得感慨，太妙了。