离散时间复指数序列的周期性质
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序言
写这篇博文的目的有两个:
其一是为了下一篇博文:离散周期序列的傅里叶级数做准备,以及以后的信号处理学习打下基础。
其二就是单纯地去学习这一个重要的信号,它和连续时间复指数信号在数字信号处理的地位不可轻视!
连续时间复指数信号
采样对比的方式来研究这个信号,连续时间复指数信号具有以下两个性质:
愈大,信号振荡的速率就愈高;
对任何
都是周期的。
下面也就这两个方面来考察离散时间复指数序列;
离散时间复指数序列的性质考察
考察离散时间复指数序列是否满足第一条性质
研究频率为的离散时间复指数序列:
可见,在离散时间情况下,具有频率为的复指数信号与
这些频率的复指数信号是一样的。
因此:
考虑这种离散时间复指数信号时,仅仅需要在某一个
间隔内选择
即可。
由研究第一条性质得到的规律
从上面的式子
我们知道,离散时间复指数信号就不具有随
在数值上的增加而不断增加其振荡速率的特性,那它有什么样的规律呢?
看下面这幅图:
从上图我们可以看出如下信息:
随着
从0开始增加,其振荡速率越来越快,直到
为止,然后继续增加
,其振荡速率就会下降,直到
为止,这时又得到和
同样的结果(常数序列)。因此,总结如下规律:
离散时间复指数的低频部分(也就是慢变化)位于
在0,
和任何其他
的偶数倍附近;
而高频部分(也就是快变化),则位于
的奇数倍值附近。
特别注意的是,在
及其他任何
的奇数倍处,有:
以至信号在每一点上都改变符号,产生激烈振荡!
考察第二条性质
第二个性质也就是离散时间复指数信号的周期性问题。
思路:
若要使信号是周期的,周期为N,就必须有:
这样就必须满足:
为了满足上式,必须是
的整数倍,也就是必须存在一个m,使得
上式变形:
也就是说,如果是一个有理数,则离散时间复指数序列
就是周期的,否则不是;(事实上,这不就是要求
是
的倍数吗?的确如此,只有这样,
才是一个有理数呀!)
从这里看来,离散复指数序列的周期性是有条件的,这点和连续复指数信号也不一样。
离散时间复指数序列的基波周期和基波频率
由上面的分析可以知道,如果离散时间复指数序列满足其成为周期信号的条件,也就是存在一个整数m,使得
,这样
是一个周期的离散复指数序列,那么它的基波周期和基波频率就可以求得:
由于必须满足,所以
就是它的基波周期,
就是它的基波角频率。
说到这里还是不免觉得有点虚,那就不如用实际例子来说明下吧:(手稿)
如果用现有的结论来判断:
举个反例:
这里再说一句吧,如果为一个整数的话,那么
就是该离散时间复指数信号
的基波周期。
成谐波关系的周期离散时间复指数信号
手稿形式如下:
最后一部分很重要,下篇博文离散周期信号的傅里叶级数会用到!
记于2018/7/18 22:59