利用边长计算三角形面积 — 海伦公式推导过程

之前在计算三角形面积时使用了海伦公式
$S=\sqrt{p\times(p-a)\times(p-b)\times(p-c)}$S=p×(p−a)×(p−b)×(p−c)​（p为周长的一半）
但对于如何推导出该公式，当时并不了解。现在推导一下。

假设一个普通三角形三边长分别为a、b、c，c边的高为h：

根据勾股定理，我们可以得出

$c=\sqrt{(b^2-h^2)+(a^2-h^2)}$c=(b2−h2)+(a2−h2)​

两边平方后整理可得：

$2c\sqrt{b^2-c^2}=b^2+c^2-a^2$2cb2−c2​=b2+c2−a2

两边继续平方并整理可得
$4c^2(b^2-h^2)=(b^2+c^2-a^2)^2$4c2(b2−h2)=(b2+c2−a2)2

$b^2-h^2=\frac{(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}$b2−h2=4c2(b2+c2−a2)​

$h = \sqrt{\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}}$h=4c24b2c2−(b2+c2−a2)​​

根据三角形面积公式：

$S =\frac{h\times c}{2}$S=2h×c​

代入之前h的值

$S = \frac{c\times h}{2}$S=2c×h​

$S = \frac{c}{2}\times\sqrt{\frac{4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)}{4c^2}}$S=2c​×4c24b2c2−(b2+c2−a2)​​

$S = \frac{1}{4}\times \sqrt{(2bc-b^2-c^2+a^2)\times(2bc+b^2+c^2-a^2)}$S=41​×(2bc−b2−c2+a2)×(2bc+b2+c2−a2)​

整理得：

$S=\frac{1}{4}\times\sqrt{(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+b+c)}$S=41​×(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(a+b+c)​

$S =\sqrt{p\times(p-a)\times(p-b)\times(p-c)}$S=p×(p−a)×(p−b)×(p−c)​