贝叶斯公式

条件概率和全概率

在介绍贝叶斯定理之前，先简单地介绍一下条件概率，描述的是事件 A 在另一个事件 B 已经发生条件下的概率，记作 ， A 和 B 可能是相互独立的两个事件，也可能不是：

 表示 A，B 事件同时发生的概率，如果 A 和 B 是相互独立的两个事件，那么：

上面的推导过程反过来证明了如果 A 和 B 是相互独立的事件，那么事件 A 发生的概率与 B 无关。

稍微做一下改变：

考虑到先验条件 B 的多种可能性，这里引入全概率公式：

这里  表示事件 B 的互补事件，从集合的角度来说是 B 的补集：

条件概率和全概率公式可以通过韦恩图形象地表示出来：

贝叶斯公式

在条件概率和全概率的基础上，很容易推导出贝叶斯公式：

看上去贝叶斯公式只是把 A 的后验概率转换成了 B 的后验概率 + A 的边缘概率的组合表达形式，因为很多现实问题中  或  很难直接观测，但是  和  却很容易测得，利用贝叶斯公式可以方便我们计算很多实际的概率问题。

一个很有意思的例子

在生活中，几乎所有人（包括统计学者）都会无意识地将两个事件的后验概率混淆，即：

最经典的一个例子就是疾病检测，假设某种疾病在所有人群中的感染率是0.1%，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为 99%（已知患病情况下， 99% 的可能性可以检查出阳性；正常人 99% 的可能性检查为正常），如果从人群中随机抽一个人去检测，医院给出的检测结果为阳性，那么这个人实际得病的概率是多少？

很多人会脱口而出 "99%"，但真实概率远低于此，因为他们把两个后验概率搞混了，如果用 A 表示这个人患有该疾病，用 B 表示医院检测的结果是阳性，那么  表示的是「已知一个人得病的情况下医院检测出阳性的概率」，而我们现在问的是「对于随机抽取的这个人，已知检测结果为阳性的情况下这个人患病的概率」，即 。

我们可以用贝叶斯定理来计算这个人实际得病的概率：

其中：

• ，被检测者患病的概率
• ，被检测未者患病的概率
• ，已知患病的情况下检测为阳性的概率
• ，已知未患病的情况下检测为阳性的概率

将上面的概率代入到贝叶斯公式中，可得：

这个公式在这里的实际意义是什么？让我们用图来解释（图中概率经过四舍五入，考虑到图片的尺寸，面积并没有和概率严格对应起来）： 

从贝叶斯的角度来看，随意选取的一个被测者，由于信息并不充分，未检测之前有假阳性、真阳性、假阴性和真阴性四种可能，这些可能性由检测技术和该疾病的感染率决定，当检测结果为阳性的时候，只剩下真阳性和假阳性两种可能，而真阳性的概率仅为假阳性的十分之一，贝叶斯公式在这里的实际意义是：

即使被医院检测为阳性，实际患病的概率其实还不到10%，有很大可能是假阳性，往往需要复检来确定是否真的患病，让我们再来计算初检和复检结果都为阳性时，患病的可能性。假设两次检查的准确率相同，都是99%，这里令 B 为第一次检测结果为阳性，C 为第二次检测结果为阳性，A 为被检测者患病，那么两次检测结果都是阳性患病的概率可以表示为：

 

其中：

• ，被检测者患病的概率
• ，被检测者未患病的概率
• ，已知患病情况下连续两次检测结果为阳性的概率
• ，已知未患病情况下连续两次检测结果为阳性的概率

代入后可得：

可见复检结果大大提高了检测的可信度，联系上面的图，复检的意义在于大幅减少假阳性的可能（0.01 -> 0.0001）从而提高阳性检测的准确性。