机器学习数学知识

1.矩阵的乘法

1.1点积：普通矩运算

1.2内积： 矩阵  与  矩阵  的Hadamard积记为  。其元素定义为两个矩阵对应元素的乘积  的m×n矩阵

1.3外积：Kronecker积是两个任意大小的矩阵间的运算，表示为  。克罗内克积也成为直积或张量积

1.4元素积：

2.softmax在神经网络简化计算的相关推导

softmax相关求导

当我们对分类的Loss进行改进的时候，我们要通过梯度下降，每次优化一个step大小的梯度，这个时候我们就要求Loss对每个权重矩阵的偏导，然后应用链式法则。那么这个过程的第一步，就是对softmax求导传回去，不用着急，我后面会举例子非常详细的说明。在这个过程中，你会发现用了softmax函数之后，梯度求导过程非常非常方便！

下面我们举出一个简单例子，原理一样，目的是为了帮助大家容易理解！

我们能得到下面公式：

z4 = w41*o1+w42*o2+w43*o3

z5 = w51*o1+w52*o2+w53*o3

z6 = w61*o1+w62*o2+w63*o3

z4,z5,z6分别代表结点4,5,6的输出，01,02,03代表是结点1,2,3往后传的输入.

那么我们可以经过softmax函数得到

好了，我们的重头戏来了，怎么根据求梯度，然后利用梯度下降方法更新梯度！

要使用梯度下降，肯定需要一个损失函数，这里我们使用交叉熵作为我们的损失函数，为什么使用交叉熵损失函数，不是这篇文章重点，后面有时间会单独写一下为什么要用到交叉熵函数（这里我们默认选取它作为损失函数）

交叉熵函数形式如下：

其中y代表我们的真实值，a代表我们softmax求出的值。i代表的是输出结点的标号！在上面例子，i就可以取值为4,5,6三个结点（当然我这里只是为了简单，真实应用中可能有很多结点）

现在看起来是不是感觉复杂了，居然还有累和，然后还要求导，每一个a都是softmax之后的形式！

但是实际上不是这样的，我们往往在真实中，如果只预测一个结果，那么在目标中只有一个结点的值为1，比如我认为在该状态下，我想要输出的是第四个动作（第四个结点）,那么训练数据的输出就是a4 = 1,a5=0,a6=0，哎呀，这太好了，除了一个为1，其它都是0，那么所谓的求和符合，就是一个幌子，我可以去掉啦！

为了形式化说明，我这里认为训练数据的真实输出为第j个为1，其它均为0！

那么Loss就变成了,累和已经去掉了，太好了。现在我们要开始求导数了！

我们在整理一下上面公式，为了更加明白的看出相关变量的关系：

其中,那么形式变为

那么形式越来越简单了，求导分析如下：

参数的形式在该例子中，总共分为w41,w42,w43,w51,w52,w53,w61,w62,w63.这些，那么比如我要求出w41,w42,w43的偏导，就需要将Loss函数求偏导传到结点4，然后再利用链式法则继续求导即可，举个例子此时求w41的偏导为:

w51.....w63等参数的偏导同理可以求出，那么我们的关键就在于Loss函数对于结点4,5,6的偏导怎么求，如下：

这里分为俩种情况：

j=i对应例子里就是如下图所示：

比如我选定了j为4，那么就是说我现在求导传到4结点这！

那么由上面求导结果再乘以交叉熵损失函数求导

，它的导数为,与上面相乘为（形式非常简单，这说明我只要正向求一次得出结果，然后反向传梯度的时候，只需要将它结果减1即可，后面还会举例子！）那么我们可以得到Loss对于4结点的偏导就求出了了（这里假定4是我们的预计输出）

第二种情况为：

这里对应我的例子图如下，我这时对的是j不等于i，往前传：

那么由上面求导结果再乘以交叉熵损失函数求导

，它的导数为,与上面相乘为（形式非常简单，这说明我只要正向求一次得出结果，然后反向传梯度的时候，只需要将它结果保存即可，后续例子会讲到）这里就求出了除4之外的其它所有结点的偏导，然后利用链式法则继续传递过去即可！我们的问题也就解决了！

下面我举个例子来说明为什么计算会比较方便，给大家一个直观的理解

举个例子，通过若干层的计算，最后得到的某个训练样本的向量的分数是[ 2, 3, 4 ], 
那么经过softmax函数作用后概率分别就是=[
,,] = [0.0903,0.2447,0.665],如果这个样本正确的分类是第二个的话，那么计算出来的偏导就是[0.0903,0.2447-1,0.665]=[0.0903,-0.7553,0.665]，是不是非常简单！！然后再根据这个进行back propagation就可以了