数学知识--外积和内积

1、外积（叉积、向量积、叉乘）

向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。它的运算结果是一个向量而不是一个数。两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。

对于向量U和向量V：
$U=(x_1, y_1, z_1)$U=(x1​,y1​,z1​)
$V=(x_2, y_2, z_2)$V=(x2​,y2​,z2​)
a和b的叉乘公式为：
$U\times V=\begin{vmatrix} i &j &k \\ x_1 &y_1 &z_1 \\ x_2 &y_2 &z_2 \end{vmatrix}=(y_1z_2-y_2z_1)i-(x_1z_2-x_2z_1)j+(x_1y_2-x_2y_1)k$U×V=∣∣∣∣∣∣​ix1​x2​​jy1​y2​​kz1​z2​​∣∣∣∣∣∣​=(y1​z2​−y2​z1​)i−(x1​z2​−x2​z1​)j+(x1​y2​−x2​y1​)k
其中：
      $i=(1,0,0)$i=(1,0,0)    $j=(0,1,0)$j=(0,1,0)    $k=(0,0,1)$k=(0,0,1)
根据$i,j,k$i,j,k之间关系，有：
$U\times V =(y_1z_2-y_2z_1.-(x_1z_2-x_2z_1),x_1y_2-x_2y_1)$U×V=(y1​z2​−y2​z1​.−(x1​z2​−x2​z1​),x1​y2​−x2​y1​)
                       
两个向量叉乘后的向量大小为：
$\vec{U}\times \vec{V}=|\vec{U}|\cdot |\vec{V}|\cdot sin \theta$U×V=∣U∣⋅∣V∣⋅sinθ

叉乘的几何意义：

• 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

• 在3D图形学中，叉乘的概念十分有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a、b的法向量，从而构建X,Y,Z坐标系。如下图所示：
                   

• 在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：|aXb|=|a||b|sinθ=由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

2、内积（点乘，数量积）

对于向量a和向量b：
$a=(a_1,a_2,...,a_n)$a=(a1​,a2​,...,an​)
$b=(b_1,b_2,...,b_n)$b=(b1​,b2​,...,bn​)
向量a和b 的点积公式为：
$a\cdot b=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$a⋅b=a1​b1​+a2​b2​+...+an​bn​

点乘的几何意义：
点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
$a \cdot b=|a||b|cos \theta$a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
$\theta =arc cos(\frac{a \cdot b} {|a||b|})$θ=arccos(∣a∣∣b∣a⋅b​)