本系列是博主为了督促自己在博士期间能够静下心来完成科研开设，并将我在学习期间学到的知识通过自己的语言讲解出来，如果能帮到你那么再好不过。

蒙提霍尔问题

在蒙提霍尔主持的电视节目“Let’s Make a Deal”中，参赛选手可以首先从三个关闭的门中选择一个门，其中三个门后依次有两只山羊、一辆轿车，如果选择到轿车则可以获得该车。只有蒙提霍尔本人知道哪扇门后面是轿车，在选手选择后，蒙提霍尔会在剩的两个门中挑出一个山羊存在的门打开，告诉参赛选手这个门后面是山羊（他一定不会打开轿车所在的门），随后他会给参赛选手一个机会，让选手选择是否更换自己选中的门（此时只剩两个没打开的门）。那么如果参赛选手的目标是这辆车的话，他是否应该更换门呢？

蒙题霍尔问题的正解

首先，我们将门标记为1、2、3号，不失一般性的，我们可以假设选手选择了一号门，随后蒙提霍尔在2、3号门中选择了山羊后面的门打开，假设$C_i$Ci​表示第$i$i个门后面是轿车，根据LOTP(Law of Total Probability)我们可以得到
$P(得到轿车)=P(得到轿车|C_1)\cdot P(C_1)+P(得到轿车|C_2)\cdot P(C_2)+P(得到轿车|C_3)\cdot P(C_3)$P(得到轿车)=P(得到轿车∣C1​)⋅P(C1​)+P(得到轿车∣C2​)⋅P(C2​)+P(得到轿车∣C3​)⋅P(C3​)
其中$P(得到轿车|C_i)$P(得到轿车∣Ci​)表示在轿车在第$i$i个门的条件下选手得到轿车的概率，由于三个门背后均有可能是轿车，故上式可化为即
$P(得到轿车)=P(得到轿车|C_1)\cdot \frac{1}{3}+P(得到轿车|C_2)\cdot \frac{1}{3}+P(得到轿车|C_3)\cdot \frac{1}{3}$P(得到轿车)=P(得到轿车∣C1​)⋅31​+P(得到轿车∣C2​)⋅31​+P(得到轿车∣C3​)⋅31​
假设挑战者一定会更换门，那么如果轿车在1号门后面，则$P(得到轿车|C_1)=0, P(得到轿车|C_2)=1, P(得到轿车|C_3)=1$P(得到轿车∣C1​)=0,P(得到轿车∣C2​)=1,P(得到轿车∣C3​)=1代入到上式可得
$P(得到轿车)=0 \cdot \frac{1}{3}+1 \cdot \frac{1}{3}+ 1\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$P(得到轿车)=0⋅31​+1⋅31​+1⋅31​=32​
因此如果换门，得到轿车的概率是$\frac{2}{3}$32​，不换门的话得到轿车的概率是$\frac{1}{3}$31​。

蒙题霍尔问题的误解

相信大家都遇到过一个困惑，就是在明确一个门是山羊的情况下，那么剩的两个门不是都有可能是车，于是换不换门的概率不就变为$\frac{1}{2}$21​了吗？
会这样考虑的话说明大家对概率学的认知还不够清楚，忽视了概率的条件，要知道，任何概率都是有条件的概率，如果不考虑概率发生的条件的话是很容易犯上述的错误。
博主对于该困惑的解答是你没有考虑到自己选择的门是轿车的概率与是山羊的概率是不一样的，即先验概率是不同的，你所在的门有$\frac{2}{3}$32​的可能性是羊，因此在蒙提霍尔筛选掉一个包含山羊的门后剩下的两个门的后验概率是不同的。为了更形象地解答，博主用下图来进行说明：

这个图一目了然可以看到，蒙提霍尔的选择概率也是不一样的，剩下的门是否是轿车的概率也是不一样的。

问题扩展

蒙提霍尔问题之所以经典，是因为它可以加入不同的条件扩展为更多有趣的问题，比如说：当蒙提霍尔不知道哪扇门背后是轿车时选手是否应该变换门？或者说蒙提霍尔知道轿车的位置且更喜欢打开某扇门的情况下选手是否应该变换门？

诚然，在考虑扩展问题的时候同时也要考虑其解法。比如说当蒙提霍尔不知道哪扇门背后是轿车时，他在开第一扇门的时候也有概率直接开到轿车从而淘汰选手，最后可以计算得到选手获得轿车的概率不管变不变门都是$\frac{1}{3}$31​。而当蒙提霍尔有更喜欢打开某扇门的倾向下，其概率又会变得不同，因为蒙提霍尔开的门不同的话，变不变门获得轿车的概率也会发生改变，这就需要选手视情况而变化。

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博主系上海交通大学2019届本科毕业生，2019/07-2020/06期间从事机器人SLAM工作一年，并将于2020/09到新加坡读取博士学位。
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