序列最小最优化算法(SMO) SVM凸优化求
1998年，由Platt提出的序列最小最优化算法(SMO)可以高效的求解上述SVM问题，它把原始求解N个参数二次规划问题分解成很多个子二次规划问题分别求解，每个子问题只需要求解2个参数，方法类似于坐标上升，节省时间成本和降低了内存需求。每次启发式选择两个变量进行优化，不断循环，直到达到函数最优值。
https://blog.csdn.net/m_buddy/article/details/52496538
1. SMO SVM算法简述
1.1 概述
SVM（Support Vector Machine，SVM）算法既是支持适量机算法。算法的原始思想很简单，既是找到一个决策面使两类（本文以两类为例进行说明）分开，且这个决策面和两类之间的间隙尽可能的大。这样带来的好处就是泛化错误率低，能够很好地对两类的问题进行分类。
因而，SVM算法的优点就是泛化错误率低，计算的开销不大，结果容易解释。缺点就是算法对参数的选择和核函数的选择敏感，原始的分类器适合二分类。
1.2 原理
我们定义决策面为：
点到面的距离：
在SVM算法中距离决策面近的点的g(x)的值为+1（对应类别X1）或是-1（对应类别X2），因而需要满足的条件为：
公式中的X1和X2对应为两个类别，则公式(3)可以被写为：
由于yi有正负对应上式3，则条件全为大于等于1的
因而对于上述的二次优化问题可以有KKT条件，用拉格朗日方程的形式写出：
则将公式(5)中的第一个、第二个式子带入到最后一个式子中，得到：
则对(5)最后一个式子最大化，将(6)带入到(5)中的最后一个式子代数运算之后得到的等价的优化为：
则通过解上诉的方程组，得到决策面的系数，就可以作为以后的分类使用了。但是上述的方法具有缺陷，它是对应下面分布的情况的，在这样的情况中，能够直接找到一个决策面。但是对于接下来的一种分布情况就不适用了（图片来源于度娘）
1.2 情况2
先来看一下这里分析的分类情况（图片来源于网络）：
在这样的分布情况下就出现了3中可能的情况，（1）位于分离段以外并且正确分类的数据；（2）落在分离段内部，但是正确分类了的数据；（3）被错误分类的数据。因而原来的原始约束条件就写为了：
因而，对于情况（1）这里定义的偏移量为0了；情况（2）偏移量就大于0且小于1；情况（3）偏移量大于0。这里引入了偏移量（松弛变量）增加了变量的个数，但是SVM算法的目的是使得分类间隔尽可能大，同时保持偏移量大于0的数据尽可能少。 则原来的最小化函数J就变成了：
其中I(x)是0-1的阶跃函数，但是区间为大于等于0。引入了偏移量之后的推导也是跟之前情况的推导是类似的，则最后得到的优化函数为：
2. Platt的SMO算法
2.1 SMO方法
SMO方法是将原来SVM的二次规划问题转化为固定大小的二次规划子问题。因为SVM算法需要遵循公式(10)中限制条件1，所以SMO方法选择两个λ进行优化。在SMO方法中使用启发式的方法选择两个λ，这样选取会极大加速算法的收敛速度，做过对比证明要比随机的撞天婚方法快很多很多。这是论文中SMO方法更新λ的部分（偷下懒截出来仅供交流），在该论文的2.2节介绍了循环的条件，读者可以下载论文下来进行阅读。
https://www.microsoft.com/en-us/research/wp-content/uploads/2016/02/smo-book.pdf
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Sun Jul 22 20:22:19 2018
@author: wzy
"""
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
"""
函数说明：读取数据
Parameters:
fileName - 文件名
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
Modify:
2018-07-23
"""
def loadDataSet(fileName):
# 数据矩阵
dataMat = []
# 标签向量
labelMat = []
# 打开文件
fr = open(fileName)
# 逐行读取
for line in fr.readlines():
# 去掉每一行首尾的空白符，例如'\n','\r','\t',' '
# 将每一行内容根据'\t'符进行切片
lineArr = line.strip().split('\t')
# 添加数据(100个元素排成一行)
dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
# 添加标签(100个元素排成一行)
labelMat.append(float(lineArr[2]))
return dataMat, labelMat
"""
函数说明：随机选择alpha_j
Parameters:
i - alpha
m - alpha参数个数
Returns:
j - 返回选定的数字
Modify:
2018-07-23
"""
def selectJrand(i, m):
j = i
while(j == i):
# uniform()方法将随机生成一个实数，它在[x, y)范围内
j = int(random.uniform(0, m))
return j
"""
函数说明：修剪alpha
Parameters:
aj - alpha值
H - alpha上限
L - alpha下限
Returns:
aj - alpha值
Modify:
2018-07-23
"""
def clipAlpha(aj, H, L):
if aj > H:
aj = H
if L > aj:
aj = L
return aj
"""
函数说明：简化版SMO算法
Parameters:
dataMatIn - 数据矩阵
classLabels - 数据标签
C - 松弛变量
toler - 容错率
maxIter - 最大迭代次数
Returns:
None
Modify:
2018-07-23
"""
def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
# 转换为numpy的mat矩阵存储(100,2)
dataMatrix = np.mat(dataMatIn)
# 转换为numpy的mat矩阵存储并转置(100,1)
labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
# 初始化b参数，统计dataMatrix的维度,m:行；n:列
b = 0
# 统计dataMatrix的维度,m:100行；n:2列
m, n = np.shape(dataMatrix)
# 初始化alpha参数，设为0
alphas = np.mat(np.zeros((m, 1)))
# 初始化迭代次数
iter_num = 0
# 最多迭代maxIter次
while(iter_num < maxIter):
alphaPairsChanged = 0
for i in range(m):
# 步骤1：计算误差Ei
# multiply(a,b)就是个乘法，如果a,b是两个数组，那么对应元素相乘
# .T为转置
fxi = float(np.multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[i, :].T)) + b
# 误差项计算公式
Ei = fxi - float(labelMat[i])
# 优化alpha，设定一定的容错率
if((labelMat[i] * Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i] * Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
# 随机选择另一个alpha_i成对比优化的alpha_j
j = selectJrand(i, m)
# 步骤1，计算误差Ej
fxj = float(np.multiply(alphas, labelMat).T * (dataMatrix * dataMatrix[j, :].T)) + b
# 误差项计算公式
Ej = fxj - float(labelMat[j])
# 保存更新前的alpha值，使用深拷贝(完全拷贝)A深层拷贝为B，A和B是两个独立的个体
alphaIold = alphas[i].copy()
alphaJold = alphas[j].copy()
# 步骤2：计算上下界H和L
if(labelMat[i] != labelMat[j]):
L = max(0, alphas[j] -alphas[i])
H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
else:
L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
if(L == H):
print("L == H")
continue
# 步骤3：计算eta
eta = 2.0 * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T
if eta >= 0:
print("eta>=0")
continue
# 步骤4：更新alpha_j
alphas[j] -= labelMat[j] * (Ei - Ej) / eta
# 步骤5：修剪alpha_j
alphas[j] = clipAlpha(alphas[j], H, L)
if(abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001):
print("alpha_j变化太小")
continue
# 步骤6：更新alpha_i
alphas[i] += labelMat[j] * labelMat[i] * (alphaJold - alphas[j])
# 步骤7：更新b_1和b_2
b1 = b - Ei - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[i, :].T - labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[j, :] * dataMatrix[i, :].T
b2 = b - Ej - labelMat[i] * (alphas[i] - alphaIold) * dataMatrix[i, :] * dataMatrix[j, :].T - labelMat[j] * (alphas[j] - alphaJold) * dataMatrix[j, :] * dataMatrix[j, :].T
# 步骤8：根据b_1和b_2更新b
if(0 < alphas[i] < C):
b = b1
elif(0 < alphas[j] < C):
b = b2
else:
b = (b1 + b2) / 2.0
# 统计优化次数
alphaPairsChanged += 1
# 打印统计信息
print("第%d次迭代 样本：%d， alpha优化次数：%d" % (iter_num, i, alphaPairsChanged))
# 更新迭代次数
if(alphaPairsChanged == 0):
iter_num += 1
else:
iter_num = 0
print("迭代次数：%d" % iter_num)
return b, alphas
"""
函数说明：计算w
Returns:
dataMat - 数据矩阵
labelMat - 数据标签
alphas - alphas值
Returns:
w - 直线法向量
Modify:
2018-07-24
"""
def get_w(dataMat, labelMat, alphas):
alphas, dataMat, labelMat = np.array(alphas), np.array(dataMat), np.array(labelMat)
# 我们不知道labelMat的shape属性是多少，
# 但是想让labelMat变成只有一列，行数不知道多少，
# 通过labelMat.reshape(1, -1)，Numpy自动计算出有100行，
# 新的数组shape属性为(100, 1)
# np.tile(labelMat.reshape(1, -1).T, (1, 2))将labelMat扩展为两列(将第1列复制得到第2列)
# dot()函数是矩阵乘，而*则表示逐个元素相乘
# w = sum(alpha_i * yi * xi)
w = np.dot((np.tile(labelMat.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * dataMat).T, alphas)
return w.tolist()
"""
函数说明：分类结果可视化
Returns:
dataMat - 数据矩阵
w - 直线法向量
b - 直线截距
Returns:
None
Modify:
2018-07-23
"""
def showClassifer(dataMat, w, b):
# 正样本
data_plus = []
# 负样本
data_minus = []
for i in range(len(dataMat)):
if labelMat[i] > 0:
data_plus.append(dataMat[i])
else:
data_minus.append(dataMat[i])
# 转换为numpy矩阵
data_plus_np = np.array(data_plus)
# 转换为numpy矩阵
data_minus_np = np.array(data_minus)
# 正样本散点图（scatter）
# transpose转置
plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7)
# 负样本散点图（scatter）
plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7)
# 绘制直线
x1 = max(dataMat)[0]
x2 = min(dataMat)[0]
a1, a2 = w
b = float(b)
a1 = float(a1[0])
a2 = float(a2[0])
y1, y2 = (-b - a1 * x1) / a2, (-b - a1 * x2) / a2
plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
# 找出支持向量点
# enumerate在字典上是枚举、列举的意思
for i, alpha in enumerate(alphas):
# 支持向量机的点
if(abs(alpha) > 0):
x, y = dataMat[i]
plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolors='red')
plt.show()
if __name__ == '__main__':
dataMat, labelMat = loadDataSet('testSet.txt')
b, alphas = smoSimple(dataMat, labelMat, 0.6, 0.001, 40)
w = get_w(dataMat, labelMat, alphas)
showClassifer(dataMat, w, b)