凸优化学习笔记17：次梯度下降法

对于光滑函数，我们可以用梯度下降法，并且证明了取不同的步长，可以得到次线性收敛，如果加上强凸性质，还可以得到线性收敛速度。那如果现在对于不可导的函数，我们就只能沿着次梯度下降，同样会面临步长的选择、方向的选择、收敛性分析等问题。

1. 收敛性分析

次梯度下降的一般形式为
$x^{(k)}=x^{(k-1)}-t_{k} g^{(k-1)}, \quad k=1,2, \ldots \quad g\in\partial f(x^{(k-1)})$
一般有 3 种步长的选择方式：

fix step： $t_k$ 为常数
fix length： $t_{k}\left\|g^{(k-1)}\right\|_{2}=\left\|x^{(k)}-x^{(k-1)}\right\|_{2}$ 为常数
diminishing： $t_{k} \rightarrow 0, \sum_{k=1}^{\infty} t_{k}=\infty$

要证明这几种方法的收敛性，需要先引入 Lipschitz continuous 假设，即
$|f(x)-f(y)| \leq G\|x-y\|_{2} \quad \forall x, y$
这等价于 $\Vert g\Vert_2\le G$ 对任意 $g\in\partial f(x)$ 都成立。

在分析收敛性之前，我们需要引入一个非常重要的式子⬇️！！！在后面的分析中会一直用到：
$\begin{aligned} \left\|x^{+}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} &=\left\|x-t g-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \\ &=\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-2 t g^{T}\left(x-x^{\star}\right)+t^{2}\|g\|_{2}^{2} \\ & \leq\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-2 t\left(f(x)-f^{\star}\right)+t^{2}\|g\|_{2}^{2} \end{aligned}$
那么如果定义 $f_{\mathrm{best}}^{(k)}=\min _{0 \leq i<k} f\left(x^{(i)}\right)$ ，就有
$\begin{aligned} 2\left(\sum_{i=1}^{k} t_{i}\right)\left(f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star}\right) & \leq\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-\left\|x^{(k)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}+\sum_{i=1}^{k} t_{i}^{2}\left\|g^{(i-1)}\right\|_{2}^{2} \\ & \leq\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}+\sum_{i=1}^{k} t_{i}^{2}\left\|g^{(i-1)}\right\|_{2}^{2} \end{aligned}$
根据上面的式子，就可以得到对于

Fixed step size： $t_i=t$
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}}{2 k t}+\frac{G^{2} t}{2}$
Fixed step length： $t_{i}=s /\left\|g^{(i-1)}\right\|_{2}$
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{G\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}}{2 k s}+\frac{G s}{2}$
这两个式子中的第一项都随着 $k$ 增大而趋于 0，但第二项却没有办法消掉，也就是与最优解的误差不会趋于 0。并且他们有一个微妙的不同点在于，fixed step size 情况下 $G^2t/2\sim O(G^2),Gs/2\sim O(G)$ ， $G$ 一般是较大的。

Diminishing step size： $t_{k} \rightarrow 0, \sum_{k=1}^{\infty} t_{k}=\infty$
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}^{2}+G^{2} \sum_{i=1}^{k} t_{i}^{2}}{2 \sum_{i=1}^{k} t_{i}}$
可以证明， $\left(\sum_{i=1}^{k} t_{i}^{2}\right) /\left(\sum_{i=1}^{k} t_{i}\right) \rightarrow 0$ ，因此 $f_{\text {best }}^{(k)}$ 会收敛于 $f^\star$ 。

下面看几幅图片，对于优化问题 $\min\Vert Ax-b\Vert_1$

Fixed step length	Diminishing step size

前面考虑了固定步长的情况，假设现在我们固定总的迭代次数为 $k$ ，可不可以优化步长 $s$ 的大小来尽可能使 $f_\text{best}^{(k)}$ 接近 $f^\star$ 呢？这实际上可以表示为优化问题
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{R^{2}+\sum_{i=1}^{k} s_{i}^{2}}{2 \sum_{i=1}^{k} s_{i}/G} \Longrightarrow \min_s \frac{R^{2}}{2 ks/G}+\frac{s}{2/G}$
其中 $R=\left\|x^{(0)}-x^{\star}\right\|_{2}$ ，那么最优步长为 $s=R/\sqrt{k}$ ，此时
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{GR}{\sqrt{k}}$
因此收敛速度为 $O(1/\sqrt{k})$ ，对比之前光滑函数的梯度下降，收敛速度为 $O(1/k)$ 。

我们对前面的收敛速度并不满意，如果有更多的信息，比如已知最优解 $f^\star$ 的大小，能不能改进收敛速度呢？根据前面的式子，有
$\left\|x^{+}-x^{\star}\right\|_{2}^{2} \leq\left\|x-x^{\star}\right\|_{2}^{2}-2 t_i\left(f(x)-f^{\star}\right)+t_i^{2}\|g\|_{2}^{2}$
这实际上是关于 $t_i$ 的一个二次函数，因此可以取 $t_{i}=\frac{f\left(x^{(i-1)}\right)-f^{\star}}{\left\|g^{(i-1)}\right\|_{2}^{2}}$ ，就可以得到
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{GR}{\sqrt{k}}$
可见还是没有改进收敛速度。

如果引入强凸性质呢？如果假设满足 $\mu$ 强凸，则 $f^\star \ge f^k+g^{kT}(x^k-x^\star)+\mu/2\Vert x^k-x^\star\Vert_2^2$ ，可以取 $t_k=\frac{2}{\mu(k+1)}$ ，那么就可以得到
$f_{\text {best }}^{(k)}-f^{\star} \leq \frac{2G^2}{\mu(k+1)}$

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前面的一些博客链接如下
凸优化专栏
 凸优化学习笔记 1：Convex Sets
凸优化学习笔记 2：超平面分离定理
 凸优化学习笔记 3：广义不等式
 凸优化学习笔记 4：Convex Function
凸优化学习笔记 5：保凸变换
 凸优化学习笔记 6：共轭函数
 凸优化学习笔记 7：拟凸函数 Quasiconvex Function
凸优化学习笔记 8：对数凸函数
 凸优化学习笔记 9：广义凸函数
 凸优化学习笔记 10：凸优化问题
 凸优化学习笔记 11：对偶原理
 凸优化学习笔记 12：KKT条件
 凸优化学习笔记 13：KKT条件 & 互补性条件 & 强对偶性
 凸优化学习笔记 14：SDP Representablity
凸优化学习笔记 15：梯度方法
 凸优化学习笔记 16：次梯度
 凸优化学习笔记 17：次梯度下降法

凸优化学习笔记17：次梯度下降法

1. 收敛性分析

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