矩概念与图像矩详解
一、矩概念详解
矩这个东西,能组成的名词太多了,矩形,就是长方形,矩阵,就是m行n列的二维数组,所以想了解矩,就要从其具体的场景中去理解。
今天我们要讲的图像矩,就是一个新的概念,图像矩就是图像的矩,这个概念来源于数学中的矩,所以我们要先来理解一下,数学中的矩。首先我们先来看一下它的定义和相关概念:
在数学和统计学中,矩(moment)是对变量分布和形态特点的一组度量。当所有的变
量矩的定义是各点对某一固定点离差幂的平均值。n阶矩被定义为一变量的n次方与其概率密度函数(ProbabilityDensity Function, PDF)之积的积分。在文献中n阶矩通常用符号μn表示。
直接使用变量计算的矩被称为原始矩(raw moment),移除均值后计算的矩被称为中心矩(central moment)。
1、离散情况
我们从矩的概念出发,我们先考虑离散情况:
假设有一个离散的随机变量X,用A表示一个常数,用k来表示幂(阶数)。那么我们有下面这个公式:
这个称为X关于点A的k阶矩。
如果这个常数A为0,我们把这个k阶矩称之为k阶原点矩。
如果这个常数A为X的均值E(X),我们把这个k阶矩称之为k阶中心矩。
变量的一阶矩是数学期望(expectation),表示分布重心;
变量的二阶矩是方差(variance),表示离散程度;
变量的三阶矩是偏度(skewness),表示分布偏离对称的程度;
变量的四阶矩是峰度(kurtosis),描述分布的尖峰程度,例如正态分布峰态系数=0。
如果我们有两个离散随机变量:X,Y。A1,A2分别代表对应于两个随机变量的常数,用p,q表示幂(阶数),那么我们有下面的公式:
这个称为X,Y关于点A1,A2的p+q阶矩。
如果两个常数都是0,那么我们称之为p+q阶混合原点矩。
如果两个常数都是对应的均值,即A1=E(X),A2=E(Y),那么我们称之为p+q阶混合中心矩。
2、连续情况
接下来我们考虑连续情况:
假设有一个连续的随机变量x,其单变量的概率密度函数为f(x),用A表示一个常数,用k来表示幂(阶数)。那么我们有下面这个公式:这个称为X关于点A的k阶矩。 如果我们有两个连续的随机变量:x,y,两个变量的联合概率密度为f(x,y)。A1,A2分别代表对应于两个随机变量的常数,用p,q表示幂(阶数),那么我们有下面的公式:
这个称为x,y关于点A1,A2的p+q阶矩。
一阶原点矩就是期望。二阶中心矩就是随机变量的的方差. 在统计学上,高于4阶的矩极少使用。三阶中心距可以去衡量分布是否有偏。四阶中心矩可以去衡量分布在均值附近的陡峭程度如何。
二、图像的几何矩
1、几何矩的概念
了解了矩的概念,我们接下来说一下图像的几何矩。在图像中,矩的概念如下:
矩是描述图像特征的算子。
这里的图像是单通道,也就是灰度图像,相当于一个矩阵,也就是上面提到的离散的情况。矩阵上每个位置的取值范围是0-255的整数。
2、图像的p+q阶矩
一阶原点矩就是期望。二阶中心矩就是随机变量的的方差. 在统计学上,高于4阶的矩极少使用。三阶中心距可以去衡量分布是否有偏。四阶中心矩可以去衡量分布在均值附近的陡峭程度如何。
那针对一幅图像,我们把像素的坐标看成是一个二维随机变量(X, Y),那么一副灰度图可以用二维灰度图密度函数来表示,因此可以用矩来描述灰度图像的特征。
空间矩的实质为面积或者质量。可以通过一阶矩计算质心/重心。
图像的重心坐标为:
物体形状方向为:
3、HU矩
把图像的像素看做密度函数f(x,y)f(x,y),对该像素点求期望,即是图像的矩(原点矩)。具体的求解过程参看下面第2节。
一般来说,一阶矩和零阶矩可以计算某个形状的重心,二阶矩可以计算形状的方向。
图像的矩主要表征了图像区域的几何特征,又称几何矩,由于具有旋转、平移、尺度等不变的特兴奋,所以又称为不变矩。
利用不变矩可以计算出物体的圆形度(物体形状和园的接近程度)、物体的矩形度(物体形状和矩形的接近程度)、物体的水平和垂直对称性、物体的主轴方向、扁度等。
原点矩:
中心距:
归一化中心距:
其中r=p+q+2, p+q=2,3,…r=p+q+22,p+q=2,3,…
参考文章:
https://blog.csdn.net/shuiyixin/article/details/104646531
https://blog.csdn.net/lql0716/article/details/68267829