一、矩概念详解

矩这个东西，能组成的名词太多了，矩形，就是长方形，矩阵，就是m行n列的二维数组，所以想了解矩，就要从其具体的场景中去理解。

今天我们要讲的图像矩，就是一个新的概念，图像矩就是图像的矩，这个概念来源于数学中的矩，所以我们要先来理解一下，数学中的矩。首先我们先来看一下它的定义和相关概念：

在数学和统计学中，矩（moment）是对变量分布和形态特点的一组度量。当所有的变
量矩的定义是各点对某一固定点离差幂的平均值。n阶矩被定义为一变量的n次方与其概率密度函数（ProbabilityDensity Function, PDF）之积的积分。在文献中n阶矩通常用符号μn表示。

直接使用变量计算的矩被称为原始矩（raw moment），移除均值后计算的矩被称为中心矩（central moment）。

1、离散情况

我们从矩的概念出发，我们先考虑离散情况：

假设有一个离散的随机变量X，用A表示一个常数，用k来表示幂（阶数）。那么我们有下面这个公式：

矩概念与图像矩详解

这个称为X关于点A的k阶矩。
如果这个常数A为0，我们把这个k阶矩称之为k阶原点矩。
如果这个常数A为X的均值E(X)，我们把这个k阶矩称之为k阶中心矩。

变量的一阶矩是数学期望（expectation），表示分布重心；
变量的二阶矩是方差（variance），表示离散程度；
变量的三阶矩是偏度（skewness），表示分布偏离对称的程度；
变量的四阶矩是峰度（kurtosis），描述分布的尖峰程度，例如正态分布峰态系数=0。

如果我们有两个离散随机变量：X,Y。A1，A2分别代表对应于两个随机变量的常数，用p，q表示幂（阶数），那么我们有下面的公式：

这个称为X，Y关于点A1，A2的p+q阶矩。
如果两个常数都是0，那么我们称之为p+q阶混合原点矩。
如果两个常数都是对应的均值，即A1=E(X)，A2=E(Y)，那么我们称之为p+q阶混合中心矩。

2、连续情况

接下来我们考虑连续情况：

假设有一个连续的随机变量x，其单变量的概率密度函数为f(x)，用A表示一个常数，用k来表示幂（阶数）。那么我们有下面这个公式：

这个称为X关于点A的k阶矩。如果我们有两个连续的随机变量：x,y，两个变量的联合概率密度为f(x,y)。A1，A2分别代表对应于两个随机变量的常数，用p，q表示幂（阶数），那么我们有下面的公式：

这个称为x，y关于点A1，A2的p+q阶矩。
一阶原点矩就是期望。二阶中心矩就是随机变量的的方差. 在统计学上，高于4阶的矩极少使用。三阶中心距可以去衡量分布是否有偏。四阶中心矩可以去衡量分布在均值附近的陡峭程度如何。