变换

对于一个平面图而言，它是多个像素点的组合而成的。

除去颜色，只剩下一张灰度图像；就连黑白都去掉，它就只是一堆点集的二维数组。

图片只是一个带有颜色和坐标的点集。

图像变换，就是在不改变集合中点的颜色信息的同时，去对各点的坐标进行变换。
$\begin{aligned} point &: (x, y)\\ \\ image &: {\Large S}(point) \\ \\ transform &:{\Large S_0} = f({\Large S}) \end{aligned}$pointimagetransform​:(x,y):S(point):S0​=f(S)​
其中单个点的变换
$p =\left\{ \begin{matrix} x \\ y \end{matrix} \right. \Rightarrow p_0 = \left\{ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right. =\left\{ \begin{matrix} f(x) \\ g(y) \end{matrix} \right.$p={xy​⇒p0​={x0​y0​​={f(x)g(y)​

平移

对于平移而言，只是在基础数值上面进行加减运算
$\left\{ \begin{matrix} x_0 = x \pm \hat x \\ y_0 = y \pm \hat y \end{matrix} \right.${x0​=x±x^y0​=y±y^​​
使用矩阵的方式进行表示
$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right] + \left[ \begin{matrix} \hat x \\ \hat y \end{matrix} \right]$[x1​y1​​]=[x0​y0​​]+[x^y^​​]
填充额外常数项，使用齐次方程进行表示
$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 &0 & \hat x \\ 0 &1 & \hat y \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix} \right]$[x1​y1​​]=[10​01​x^y^​​]⎣⎡​x0​y0​1​⎦⎤​

一般来说，我们都可以使用这种形式进行点位置变换的表达：即乘上一个变换矩阵。

平移参数中，可变参数有两个，为两个*度。

伸缩

关于伸缩的话，有两种伸缩办法

• 线性
• 非线性

$\left\{ \begin{matrix} x_1 = k_x x_0 \\ y_1 = k_y y_0 \end{matrix} \right.${x1​=kx​x0​y1​=ky​y0​​

当$k_x =k_y$kx​=ky​时候，就是线性伸缩，此时的伸缩是等比例的。直线伸缩之后斜率不变。

非线性变换的时候，就不能保证平行了。

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加上平移，齐次表示一下
$\left\{ \begin{matrix} x_1 = k_x x_0 + \hat x\\ y_1 = k_y y_0 + \hat y \end{matrix} \right. \Rightarrow \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} k_x & 0 & \hat x \\ 0 & k_y & \hat y \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix} \right]${x1​=kx​x0​+x^y1​=ky​y0​+y^​​⇒[x1​y1​​]=[kx​0​0ky​​x^y^​​]⎣⎡​x0​y0​1​⎦⎤​
加上平移，*度为4，如果是线性变换，*度为3，因为$k_x = k_y$kx​=ky​

旋转

旋转的话需要从线性上面才能更直观的体现。
$\begin{aligned} 假设线段长度为R &:\left\{ \begin{matrix} x_0 = R\cos{b} \\ y_0 = R \sin {b} \end{matrix} \right.\\ 并且 &:\left\{ \begin{matrix} x_1 = R\cos(a+b) = R\cos a \cos b - R\sin a \sin b \\ y_1 = R\sin(a+b) = R\cos a \sin b + R \sin a \cos b \end{matrix} \right.\\ 得到 &:\left\{ \begin{matrix} x_1 = x_0 \cos a - y_0 \sin a \\ y_1 = y_0 \sin b + x_0 \sin a \end{matrix} \right.\\ 齐次&:\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos a & -\sin a \\ \sin b & \sin a \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \end{matrix} \right] \\ 加上平移&:\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ m \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} \cos a & -\sin a & \hat x\\ \sin b & \sin a & \hat y \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix} \right] \end{aligned}$假设线段长度为R并且得到齐次加上平移​:{x0​=Rcosby0​=Rsinb​:{x1​=Rcos(a+b)=Rcosacosb−Rsinasinby1​=Rsin(a+b)=Rcosasinb+Rsinacosb​:{x1​=x0​cosa−y0​sinay1​=y0​sinb+x0​sina​:[x1​y1​​]=[cosasinb​−sinasina​][x0​y0​​]:⎣⎡​x1​y1​m​⎦⎤​=[cosasinb​−sinasina​x^y^​​]⎣⎡​x0​y0​1​⎦⎤​​
虽然有六个参数，但是其中四个都分别依赖$a和b$a和b,总*度为4.

仿射

$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ m \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix} \right]$⎣⎡​x1​y1​m​⎦⎤​=[ad​be​cf​]⎣⎡​x0​y0​1​⎦⎤​

仿射变换和旋转的区别可以类比于缩放中的线性和非线性，这里会出现比较大的变化。

其中的每个参数之间关联不大，*度由原来的4提升为6，在这里会丧失原图的更多性质。

相较而言，之前的变换有如下性质

• 保角性：角度不变
• 保线性：直线不弯
• 保比例：比例不变

仿射变换之后，只遗留了保线性。

投影

$\left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \\ m \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_0 \\ y_0 \\ 1 \end{matrix} \right]$⎣⎡​x1​y1​m​⎦⎤​=⎣⎡​adg​beh​cfi​⎦⎤​⎣⎡​x0​y0​1​⎦⎤​

投影变换相较于之前的变换，使用的是三阶的变换矩阵。

变换的效果不再局限于$2D$2D，$3D$3D变换带有空间的透视感。但是丢失了最后的保线性。

从变换矩阵上看，总共有九个*度，但是变换矩阵$A$A需要满足如下条件
$A A^T = E$AAT=E
所以投影变换的*度为8，需要四个点才能进行确定。

补充

*度

其中所说的*度可以简单的理解为变换矩阵中的未知数个数。

因为改变其中一个，变换都会发生改变，*度也就是改变变换方式的维度。

求解

需要确定的点的个数，主要取决于求解变换矩阵未知数的点的个数。