1.5 极限的存在准则和两个重要极限
本篇为极限部分最为重要的重点,极限的存在准则和两个重要极限
一、极限的存在准则
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准则1:通敛定理(夹逼定理)
- 数列应用
通敛定理求数列极限的两件事:
- 找出一个比原数列小的数列,找出一个比原数列大的数列
- 两个数列求极限的值相同
- 函数应用
- 数列应用
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准则2:单调有界的数列必有极限
注解:
①{an}有界,充要条件是{an}有上界,并且{an}有下界
②当{an}单调递增时,{an}是有天然的下界的,此时如果{an}有上界,则称liman存在;如果无上界,则称liman不存在。
③当{an}单调递减时,{an}是有天然的上界的,此时如果{an}有下界,则称liman存在;如果无下界,则称liman不存在。
二、两个重要极限
(一)
证明:设0 < x < π/2,做单位圆O如下图
注解: 此重要极限应用时要注意两点:1.x与sinx中的x保持一致;2.x趋于0时分母趋于0
例题
(二)
证明
截止到这里,证明了数列{an}的极限是存在的,以目前掌握的知识无法求解极限的值,所以这里直接给出极限值为e 记住这个重要极限以便使用。
注解:
例题
总结
本篇内容为极限存在的准则(夹逼定理和单调函数的有界与极限存在的关系),并依据极限存在的准则推导出两个重要极限。
预:无穷小的比较