模拟信号的数字处理方法（1）

鉴于数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的诸多优越性，人们在一定场景下往往愿意将模拟信号进行数字化处理，即对模拟信号进行采样和量化编码形成数字信号，用数字处理技术进行处理。处理完毕，如果需要，再将数字信号恢复为模拟信号。

模拟信号的采样和量化编码

1. 模拟信号的采样

对模拟信号的采样可以看作为模拟信号（图1.1（b)）通过一个电子开关（图1.1(a)），在输出端形成一个脉冲信号（图1.1(d)）的过程。电子开关形成的采样信号（图1.1（c)）为矩形脉冲串，且电子开关开合的周期就是采样周期 $T$T ,而闭合时间就是采样脉冲宽度 $\tau$τ 。当采样时间趋近于零时，即 $\tau$τ 趋近于零，矩形脉冲串就形成了单位冲激串（图1.1(e)），用$p_\delta$pδ​(t)表示，故而输出端的脉冲信号就变成了理想采样信号（图1.1(f)）。

根据傅里叶变换，可以根据已知的模拟信号和开关信号求得采样信号的傅里叶形式：
$X_a(j\Omega)=FT[x_a(t)]$Xa​(jΩ)=FT[xa​(t)]
$P_\delta(j\Omega)=FT[p_\delta(t)]$Pδ​(jΩ)=FT[pδ​(t)]
$\hat{X}_a(j\Omega)=FT[\hat{x}_a(t)]$X^a​(jΩ)=FT[x^a​(t)]
傅里叶变换的计算再次不再赘述，采样信号的傅里叶变换式为：
$\hat{X}_a(j\Omega)=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{X}_a(j\Omega-jk\Omega_s)$X^a​(jΩ)=T1​k=−∞∑∞​X^a​(jΩ−jkΩs​)
上式中，$\Omega_s$Ωs​为采样角频率。该式表明，理想采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率 $\Omega_s$Ωs​ 重复出现一次，并叠加形成的周期函数。
既然采样信号的频谱是原模拟信号的频谱经过搬移并叠加形成的，那就会可能出现频谱出现混叠的情况，即 $\Omega_s / 2<\Omega_c$Ωs​/2<Ωc​ （原模拟信号的最高角频率），如下图所示。

如此，就不能从采样信号中无失真的恢复出原连续信号，这是我们所不期望的。因此，对于带限模拟信号，采样频率必须高于信号的最高频率，即$f_s>2f_c$fs​>2fc​，才能避免频谱的混叠，如下图所示。当然，该结论（奈奎斯特定理）是基于理想DAC而言，由于实际滤波器要求一定的过渡带，故实际采样频率一般选在3~5个模拟信号截至频率。