1. 三相PWM整流器拓扑图

  三相PWM整流器的拓扑图如下所示，注意网侧电流的参考方向，在这种参考方向下，电压表达式满足$e_{abc}=L\frac{d_{iabc}}{d_t}+Ri_{abc}+u_{abc}$eabc​=Ldt​diabc​​+Riabc​+uabc​。

2. wt=0与A轴重合

  这种情况下，abc-dq变换矩阵如下图所示，
  注意：这里的$\theta$θ就是wt，下面我用wt进行分析。定义Tabc-dq为
$T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}$Tabc−dq​=32​[coswt−sinwt​cos(wt−32π​)−sin(wt−32π​)​cos(wt+32π​)−sin(wt+32π​)​]
  将Tabc-dq关于t进行求导，如下：
$\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}= \frac{2}{3}w \begin{bmatrix} -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -coswt & -cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & -cos(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}$dt​dTabc−dq​​​=32​w[−sinwt−coswt​−sin(wt−32π​)−cos(wt−32π​)​−sin(wt+32π​)−cos(wt+32π​)​]
  对iabc的dq分量进行求导，如下：
$\begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} = \frac{d_{{T_{abc-dq}}i_{abc}}}{d_t}= T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+i_{abc}\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}$[dt​did​​dt​diq​​​]=dt​dTabc−dq​iabc​​​=Tabc−dq​dt​diabc​​+iabc​dt​dTabc−dq​​​
  假定$i_{dq}=T_{abc-dq}i_{abc}$idq​=Tabc−dq​iabc​根据Tabc-dq和Tabc-dq导数的矩阵形式，可以推出：
$\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}i_{abc}=w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}$dt​dTabc−dq​​​iabc​=w[iq​−id​​]
  将这个表达式带入可得：
$T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}$Tabc−dq​dt​diabc​​=[dt​did​​dt​diq​​​]−w[iq​−id​​]
  将电源表达式进行dq变换（这个适合瞬时值对应的，注意正负）：
$e_{dq}=T_{abc-dq}e_{abc}=LT_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+RT_{abc-dq}i_{abc}+T_{abc-dq}u_{abc}$edq​=Tabc−dq​eabc​=LTabc−dq​dt​diabc​​+RTabc−dq​iabc​+Tabc−dq​uabc​
  带入上式可得：
$\begin{bmatrix} e_d\\e_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L\frac{d_{id}}{d_t}\\ L\frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Ri_d\\ Ri_q \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_d\\ u_q \end{bmatrix}$[ed​eq​​]=[Ldt​did​​Ldt​diq​​​]−w[iq​−id​​]+[Rid​Riq​​]+[ud​uq​​]

3. wt=0滞后于A轴90度

  这种状况下，abc-dq变换矩阵如下图所示，
  注意：这里的$\theta$θ就是wt，下面我用wt进行分析。定义Tabc-dq为
$T_{abc-dq}= \frac{2}{3} \begin{bmatrix} sinwt & sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & sin(wt+\frac{2\pi}{3})\\ coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}$Tabc−dq​=32​[sinwtcoswt​sin(wt−32π​)cos(wt−32π​)​sin(wt+32π​)cos(wt+32π​)​]
  将Tabc-dq关于t进行求导，如下：
$\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}= \frac{2}{3}w \begin{bmatrix} coswt & cos(wt-\frac{2\pi}{3}) & cos(wt+\frac{2\pi}{3})\\ -sinwt & -sin(wt-\frac{2\pi}{3}) & -sin(wt+\frac{2\pi}{3}) \end{bmatrix}$dt​dTabc−dq​​​=32​w[coswt−sinwt​cos(wt−32π​)−sin(wt−32π​)​cos(wt+32π​)−sin(wt+32π​)​]
  对iabc的dq分量进行求导，如下：
$\begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} = \frac{d_{{T_{abc-dq}}i_{abc}}}{d_t}= T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+i_{abc}\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}$[dt​did​​dt​diq​​​]=dt​dTabc−dq​iabc​​​=Tabc−dq​dt​diabc​​+iabc​dt​dTabc−dq​​​
  假定$i_{dq}=T_{abc-dq}i_{abc}$idq​=Tabc−dq​iabc​根据Tabc-dq和Tabc-dq导数的矩阵形式，可以推出：
$\frac{d_{T_{abc-dq}}}{d_t}i_{abc}=w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}$dt​dTabc−dq​​​iabc​=w[iq​−id​​]
  将这个表达式带入可得：
$T_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}= \begin{bmatrix} \frac{d_{id}}{d_t}\\ \frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix}$Tabc−dq​dt​diabc​​=[dt​did​​dt​diq​​​]−w[iq​−id​​]
  将电源表达式进行dq变换（这个适合瞬时值对应的，注意正负）：
$e_{dq}=T_{abc-dq}e_{abc}=LT_{abc-dq}\frac{d_{iabc}}{d_t}+RT_{abc-dq}i_{abc}+T_{abc-dq}u_{abc}$edq​=Tabc−dq​eabc​=LTabc−dq​dt​diabc​​+RTabc−dq​iabc​+Tabc−dq​uabc​
  带入上式可得：
$\begin{bmatrix} e_d\\e_q \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L\frac{d_{id}}{d_t}\\ L\frac{d_{iq}}{d_t} \end{bmatrix} -w \begin{bmatrix} i_q\\ -i_d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} Ri_d\\ Ri_q \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} u_d\\ u_q \end{bmatrix}$[ed​eq​​]=[Ldt​did​​Ldt​diq​​​]−w[iq​−id​​]+[Rid​Riq​​]+[ud​uq​​]

4. 分析

  上面两种dq变换是MATLAB中使用的两种情况，我们发现，尽管变换矩阵不同，但只要Tabc-dq和Tabc-dq导数的关系一致，最后表达式就是一样的。

参考资料

4种派克(Park)变换、克拉克（Clark）变换与基于dq轴解耦的双闭环控制之间的关系(一)

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